Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.16nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.16nn0 37990
Description: Lemma 2.16 of [JonesMatijasevic] p. 695. This may be regarded as a special case of jm2.15nn0 37989 if Yrm is redefined as described in rmyluc 37921. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.16nn0 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))

Proof of Theorem jm2.16nn0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11810 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 peano2zm 11533 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4 0z 11501 . . . . 5 0 ∈ ℤ
5 congid 37957 . . . . 5 (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
63, 4, 5sylancl 697 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (0 − 0))
7 rmy0 37913 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
87oveq1d 6780 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 Yrm 0) − 0) = (0 − 0))
96, 8breqtrrd 4788 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))
10 1z 11520 . . . . 5 1 ∈ ℤ
11 congid 37957 . . . . 5 (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
123, 10, 11sylancl 697 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ (1 − 1))
13 rmy1 37914 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
1413oveq1d 6780 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 Yrm 1) − 1) = (1 − 1))
1512, 14breqtrrd 4788 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))
16 pm3.43 942 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
171adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
1817, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
19 eluzel2 11805 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℤ)
2019adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 2 ∈ ℤ)
21 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
22 nnz 11512 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
2322adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
24 frmy 37898 . . . . . . . . . . . . . 14 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
2524fovcl 6882 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
2621, 23, 25syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
2726, 17zmulcld 11601 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ)
2820, 27zmulcld 11601 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ)
29 zmulcl 11539 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
3023, 10, 29sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 · 1) ∈ ℤ)
3120, 30zmulcld 11601 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ)
3218, 28, 313jca 1379 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
33323adant3 1124 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ))
34 peano2zm 11533 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
3523, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
3624fovcl 6882 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
3721, 35, 36syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
3837, 35jca 555 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
39383adant3 1124 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ))
4018, 20, 203jca 1379 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
41403adant3 1124 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
4227, 30jca 555 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
43423adant3 1124 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ))
44 congid 37957 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
4518, 20, 44syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
46453adant3 1124 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (2 − 2))
4718, 26, 233jca 1379 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
48473adant3 1124 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
4917, 10jctir 562 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
50493adant3 1124 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
51 simp3r 1221 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
52 iddvds 15118 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 − 1) ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
5318, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
54533adant3 1124 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))
55 congmul 37953 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (𝐴 − 1))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
5648, 50, 51, 54, 55syl112anc 1443 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))
57 congmul 37953 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑏 · 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ (2 − 2) ∧ (𝐴 − 1) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − (𝑏 · 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
5841, 43, 46, 56, 57syl112anc 1443 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))))
59 simp3l 1220 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
60 congsub 37956 . . . . . . . 8 ((((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝑏 · 1)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · (𝑏 · 1))) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
6133, 39, 58, 59, 60syl112anc 1443 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
62 rmyluc 37921 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
6321, 23, 62syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
64 nncn 11141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
6564mulid1d 10170 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 · 1) = 𝑏)
6665oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (2 · 𝑏))
67642timesd 11388 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ → (2 · 𝑏) = (𝑏 + 𝑏))
6866, 67eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℕ → (2 · (𝑏 · 1)) = (𝑏 + 𝑏))
6968oveq1d 6780 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)) = ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)))
70 1cnd 10169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
7164, 64, 70pnncand 10544 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑏 + 𝑏) − (𝑏 − 1)) = (𝑏 + 1))
7269, 71eqtr2d 2759 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
7372adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 + 1) = ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1)))
7463, 73oveq12d 6783 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
75743adant3 1124 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · (𝑏 · 1)) − (𝑏 − 1))))
7661, 75breqtrrd 4788 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
77763exp 1112 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
7877a2d 29 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)) ∧ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
7916, 78syl5 34 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
80 oveq2 6773 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
81 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
8280, 81oveq12d 6783 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 0) − 0))
8382breq2d 4772 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0)))
8483imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − 0))))
85 oveq2 6773 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
86 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → 𝑎 = 1)
8785, 86oveq12d 6783 . . . . 5 (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 1) − 1))
8887breq2d 4772 . . . 4 (𝑎 = 1 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1)))
8988imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 1 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − 1))))
90 oveq2 6773 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
91 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 − 1) → 𝑎 = (𝑏 − 1))
9290, 91oveq12d 6783 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))
9392breq2d 4772 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1))))
9493imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝑏 − 1)))))
95 oveq2 6773 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
96 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
9795, 96oveq12d 6783 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))
9897breq2d 4772 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏)))
9998imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − 𝑏))))
100 oveq2 6773 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
101 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → 𝑎 = (𝑏 + 1))
102100, 101oveq12d 6783 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))
103102breq2d 4772 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1))))
104103imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝑏 + 1)))))
105 oveq2 6773 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
106 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁𝑎 = 𝑁)
107105, 106oveq12d 6783 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))
108107breq2d 4772 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎) ↔ (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
109108imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))))
1109, 15, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 1092nn0ind 37929 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁)))
111110impcom 445 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 1) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  cmin 10379  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  cz 11490  cuz 11800  cdvds 15103   Yrm crmy 37884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-dvds 15104  df-gcd 15340  df-numer 15566  df-denom 15567  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423  df-squarenn 37824  df-pell1qr 37825  df-pell14qr 37826  df-pell1234qr 37827  df-pellfund 37828  df-rmx 37885  df-rmy 37886
This theorem is referenced by:  jm2.27a  37991  jm2.27c  37993
  Copyright terms: Public domain W3C validator