Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.15nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.15nn0 38090
Description: Lemma 2.15 of [JonesMatijasevic] p. 695. Yrm is a polynomial for fixed N, so has the expected congruence property. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.15nn0 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem jm2.15nn0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11909 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 eluzelz 11909 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 zsubcl 11631 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2an 495 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
5 0z 11600 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
6 congid 38058 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∥ (0 − 0))
74, 5, 6sylancl 697 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ (0 − 0))
8 rmy0 38014 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
9 rmy0 38014 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 Yrm 0) = 0)
108, 9oveqan12d 6833 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)) = (0 − 0))
117, 10breqtrrd 4832 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))
12 1z 11619 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
13 congid 38058 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∥ (1 − 1))
144, 12, 13sylancl 697 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ (1 − 1))
15 rmy1 38015 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
16 rmy1 38015 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 Yrm 1) = 1)
1715, 16oveqan12d 6833 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)) = (1 − 1))
1814, 17breqtrrd 4832 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))
19 pm3.43 942 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))))
2043ad2ant2 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
21 2z 11621 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 2 ∈ ℤ)
23 simp2l 1242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
24 nnz 11611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
25243ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
26 frmy 37999 . . . . . . . . . . . . 13 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
2726fovcl 6931 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
2823, 25, 27syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
291adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
30293ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
3128, 30zmulcld 11700 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ)
3222, 31zmulcld 11700 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ)
33 simp2r 1243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐵 ∈ (ℤ‘2))
3426fovcl 6931 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
3533, 25, 34syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
362adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
37363ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
3835, 37zmulcld 11700 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵) ∈ ℤ)
3922, 38zmulcld 11700 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) ∈ ℤ)
40 peano2zm 11632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
4124, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
42413ad2ant1 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
4326fovcl 6931 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
4423, 42, 43syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
4526fovcl 6931 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
4633, 42, 45syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
47 congid 38058 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∥ (2 − 2))
4820, 21, 47sylancl 697 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ (2 − 2))
49 simp3r 1245 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))
50 iddvds 15217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) ∈ ℤ → (𝐴𝐵) ∥ (𝐴𝐵))
5120, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ (𝐴𝐵))
52 congmul 38054 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)) ∧ (𝐴𝐵) ∥ (𝐴𝐵))) → (𝐴𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))
5320, 28, 35, 30, 37, 49, 51, 52syl322anc 1505 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))
54 congmul 38054 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ (2 − 2) ∧ (𝐴𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))) → (𝐴𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))))
5520, 22, 22, 31, 38, 48, 53, 54syl322anc 1505 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))))
56 simp3l 1244 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
57 congsub 38057 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))) → (𝐴𝐵) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
5820, 32, 39, 44, 46, 55, 56, 57syl322anc 1505 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
59 rmyluc 38022 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
6023, 25, 59syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
61 rmyluc 38022 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
6233, 25, 61syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
6360, 62oveq12d 6832 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
6458, 63breqtrrd 4832 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))
65643exp 1113 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏))) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
6665a2d 29 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
6719, 66syl5 34 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
68 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
69 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 0))
7068, 69oveq12d 6832 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))
7170breq2d 4816 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0))))
7271imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))))
73 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
74 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 1))
7573, 74oveq12d 6832 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))
7675breq2d 4816 . . . . 5 (𝑎 = 1 → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1))))
7776imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = 1 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))))
78 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
79 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))
8078, 79oveq12d 6832 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
8180breq2d 4816 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
8281imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))))
83 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
84 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 𝑏))
8583, 84oveq12d 6832 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))
8685breq2d 4816 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏))))
8786imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))))
88 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
89 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)))
9088, 89oveq12d 6832 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))
9190breq2d 4816 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)))))
9291imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
93 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
94 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑁 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 𝑁))
9593, 94oveq12d 6832 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))
9695breq2d 4816 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁))))
9796imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))))
9811, 18, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 972nn0ind 38030 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁))))
9998impcom 445 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))
100993impa 1101 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cmin 10478  cn 11232  2c2 11282  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  cdvds 15202   Yrm crmy 37985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-numer 15665  df-denom 15666  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-squarenn 37925  df-pell1qr 37926  df-pell14qr 37927  df-pell1234qr 37928  df-pellfund 37929  df-rmx 37986  df-rmy 37987
This theorem is referenced by:  jm2.27a  38092  jm2.27c  38094
  Copyright terms: Public domain W3C validator