MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixpexg 7974
Description: The existence of an infinite Cartesian product. 𝑥 is normally a free-variable parameter in 𝐵. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpexg (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ixpexg
StepHypRef Expression
1 uniixp 7973 . . . 4 X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵)
2 iunexg 7185 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
3 xpexg 7002 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∈ V)
42, 3syldan 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∈ V)
5 ssexg 4837 . . . 4 (( X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∈ V) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
61, 4, 5sylancr 696 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
7 uniexb 7015 . . 3 (X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V ↔ X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
86, 7sylibr 224 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
9 ixpprc 7971 . . . 4 𝐴 ∈ V → X𝑥𝐴 𝐵 = ∅)
10 0ex 4823 . . . 4 ∅ ∈ V
119, 10syl6eqel 2738 . . 3 𝐴 ∈ V → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
1211adantr 480 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
138, 12pm2.61ian 848 1 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   cuni 4468   ciun 4552   × cxp 5141  Xcixp 7950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ixp 7951
This theorem is referenced by:  konigthlem  9428  prdsbasex  16158  isfunc  16571  isnat  16654  natffn  16656  dmdprd  18443  dprdval  18448  elpt  21423  ptbasin2  21429  ptbasfi  21432  ptrest  33538  upixp  33654  hspval  41144  hspmbl  41164  vonioolem2  41216  vonicclem2  41219
  Copyright terms: Public domain W3C validator