MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixi 10848
Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
ixi (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi
StepHypRef Expression
1 df-neg 10461 . 2 -1 = (0 − 1)
2 ax-i2m1 10196 . . 3 ((i · i) + 1) = 0
3 0cn 10224 . . . 4 0 ∈ ℂ
4 ax-1cn 10186 . . . 4 1 ∈ ℂ
5 ax-icn 10187 . . . . 5 i ∈ ℂ
65, 5mulcli 10237 . . . 4 (i · i) ∈ ℂ
73, 4, 6subadd2i 10561 . . 3 ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
82, 7mpbir 221 . 2 (0 − 1) = (i · i)
91, 8eqtr2i 2783 1 (i · i) = -1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129  ici 10130   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458  -cneg 10459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460  df-neg 10461
This theorem is referenced by:  recextlem1  10849  inelr  11202  cju  11208  irec  13158  i2  13159  crre  14053  remim  14056  remullem  14067  sqrtneglem  14206  absi  14225  sinhval  15083  coshval  15084  cosadd  15094  absefib  15127  efieq1re  15128  demoivreALT  15130  ncvspi  23156  cphipval2  23240  itgmulc2  23799  tanarg  24564  atandm2  24803  efiasin  24814  asinsinlem  24817  asinsin  24818  asin1  24820  efiatan  24838  atanlogsublem  24841  efiatan2  24843  2efiatan  24844  tanatan  24845  atantan  24849  atans2  24857  dvatan  24861  log2cnv  24870  nvpi  27831  ipasslem10  28003  polid2i  28323  lnophmlem2  29185  iexpire  31928  itgmulc2nc  33791  dvasin  33809
  Copyright terms: Public domain W3C validator