MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivth2 23444
Description: The intermediate value theorem, decreasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth2.9 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴)))
Assertion
Ref Expression
ivth2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivth2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ivth.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ivth.3 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
43renegcld 10669 . . 3 (𝜑 → -𝑈 ∈ ℝ)
5 ivth.4 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
6 ivth.5 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
7 ivth.7 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
8 eqid 2760 . . . . 5 (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦)) = (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))
98negfcncf 22943 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦)) ∈ (𝐷cn→ℂ))
107, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦)) ∈ (𝐷cn→ℂ))
116sselda 3744 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐷)
12 fveq2 6353 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
1312negeqd 10487 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝑥))
14 negex 10491 . . . . . 6 -(𝐹𝑥) ∈ V
1513, 8, 14fvmpt 6445 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
1611, 15syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
17 ivth.8 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1817renegcld 10669 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1916, 18eqeltrd 2839 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑥) ∈ ℝ)
201rexrd 10301 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
212rexrd 10301 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
221, 2, 5ltled 10397 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
23 lbicc2 12501 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
256, 24sseldd 3745 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐷)
26 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
2726negeqd 10487 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐴))
28 negex 10491 . . . . . . 7 -(𝐹𝐴) ∈ V
2927, 8, 28fvmpt 6445 . . . . . 6 (𝐴𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
3025, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
31 ivth2.9 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴)))
3231simprd 482 . . . . . 6 (𝜑𝑈 < (𝐹𝐴))
33 fveq2 6353 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
3433eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
3517ralrimiva 3104 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3634, 35, 24rspcdva 3455 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
373, 36ltnegd 10817 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐴) ↔ -(𝐹𝐴) < -𝑈))
3832, 37mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → -(𝐹𝐴) < -𝑈)
3930, 38eqbrtrd 4826 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) < -𝑈)
4031simpld 477 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵) < 𝑈)
41 fveq2 6353 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
4241eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
43 ubicc2 12502 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4420, 21, 22, 43syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4542, 35, 44rspcdva 3455 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
4645, 3ltnegd 10817 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈 ↔ -𝑈 < -(𝐹𝐵)))
4740, 46mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → -𝑈 < -(𝐹𝐵))
486, 44sseldd 3745 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
49 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
5049negeqd 10487 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐵))
51 negex 10491 . . . . . . 7 -(𝐹𝐵) ∈ V
5250, 8, 51fvmpt 6445 . . . . . 6 (𝐵𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵) = -(𝐹𝐵))
5348, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵) = -(𝐹𝐵))
5447, 53breqtrrd 4832 . . . 4 (𝜑 → -𝑈 < ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵))
5539, 54jca 555 . . 3 (𝜑 → (((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) < -𝑈 ∧ -𝑈 < ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵)))
561, 2, 4, 5, 6, 10, 19, 55ivth 23443 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈)
57 ioossicc 12472 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
5857, 6syl5ss 3755 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
5958sselda 3744 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐𝐷)
60 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑐 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑐))
6160negeqd 10487 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑐 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝑐))
62 negex 10491 . . . . . . 7 -(𝐹𝑐) ∈ V
6361, 8, 62fvmpt 6445 . . . . . 6 (𝑐𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -(𝐹𝑐))
6459, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -(𝐹𝑐))
6564eqeq1d 2762 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ -(𝐹𝑐) = -𝑈))
66 cncff 22917 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
677, 66syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
6867ffvelrnda 6523 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝐷) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
6959, 68syldan 488 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
703recnd 10280 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
7170adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℂ)
7269, 71neg11ad 10600 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(𝐹𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹𝑐) = 𝑈))
7365, 72bitrd 268 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹𝑐) = 𝑈))
7473rexbidva 3187 . 2 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈))
7556, 74mpbid 222 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287  -cneg 10479  (,)cioo 12388  [,]cicc 12391  cnccncf 22900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902
This theorem is referenced by:  ivthle2  23446  pilem3  24426  pilem3OLD  24427  signsply0  30958
  Copyright terms: Public domain W3C validator