Theorem iunp1 39753

Description: The addition of the next set to a union indexed by a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunp1.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
iunp1.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iunp1.3	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iunp1	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∪ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∪ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunp1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fzsuc 12602	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
4	3	iuneq1d 4698	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})𝐴)
5		iunxun 4758	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})𝐴 = (∪ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}𝐴)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})𝐴 = (∪ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}𝐴))
7		iunp1.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
8		ovex 6843	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
9		iunp1.3	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
10	7, 8, 9	iunxsnf 39751	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}𝐴 = 𝐵
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}𝐴 = 𝐵)
12	11	uneq2d 3911	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}𝐴) = (∪ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∪ 𝐵))
13	4, 6, 12	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∪ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  Ⅎwnfc 2890   ∪ cun 3714  {csn 4322  ∪ ciun 4673  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  1c1 10150   + caddc 10152  ℤ_≥cuz 11900  ...cfz 12540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541

This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  41260  caratheodorylem1  41265