MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunmbl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunmbl2 23545
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl2 ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem iunmbl2
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdom2 8153 . . 3 (𝐴 ≼ ℕ ↔ (𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ))
2 nnenom 12993 . . . . . 6 ℕ ≈ ω
3 sdomentr 8261 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≺ ω)
42, 3mpan2 709 . . . . 5 (𝐴 ≺ ℕ → 𝐴 ≺ ω)
5 isfinite 8724 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
6 finiunmbl 23532 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
76ex 449 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
85, 7sylbir 225 . . . . 5 (𝐴 ≺ ω → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
94, 8syl 17 . . . 4 (𝐴 ≺ ℕ → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
10 bren 8132 . . . . 5 (𝐴 ≈ ℕ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ)
11 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ
12 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛
13 nfcsb1v 3690 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵
1413nfcri 2896 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵
1512, 14nfrex 3145 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵
16 f1of 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → 𝑓:𝐴⟶ℕ)
1716ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓𝑛) ∈ ℕ)
18173adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑛) ∈ ℕ)
19 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
20 f1ocnvfv1 6696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓‘(𝑓𝑛)) = 𝑛)
21203adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → (𝑓‘(𝑓𝑛)) = 𝑛)
2221eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → 𝑛 = (𝑓‘(𝑓𝑛)))
23 csbeq1a 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑓‘(𝑓𝑛)) → 𝐵 = (𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → 𝐵 = (𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵)
2519, 24eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → 𝑥(𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵)
26 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑓𝑛) → (𝑓𝑘) = (𝑓‘(𝑓𝑛)))
2726csbeq1d 3681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑓𝑛) → (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 = (𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵)
2827eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑓𝑛) → (𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵𝑥(𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵))
2928rspcev 3449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑥(𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
3018, 25, 29syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
31303exp 1113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (𝑛𝐴 → (𝑥𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)))
3211, 15, 31rexlimd 3164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (∃𝑛𝐴 𝑥𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵))
33 f1ocnvdm 6704 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ 𝐴)
34 csbeq1a 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑓𝑘) → 𝐵 = (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
3534eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑓𝑘) → (𝑥𝐵𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵))
3614, 35rspce 3444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑘) ∈ 𝐴𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵) → ∃𝑛𝐴 𝑥𝐵)
3736ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑘) ∈ 𝐴 → (𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 → ∃𝑛𝐴 𝑥𝐵))
3833, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 → ∃𝑛𝐴 𝑥𝐵))
3938rexlimdva 3169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 → ∃𝑛𝐴 𝑥𝐵))
4032, 39impbid 202 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (∃𝑛𝐴 𝑥𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵))
41 eliun 4676 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑛𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑛𝐴 𝑥𝐵)
42 eliun 4676 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
4340, 41, 423bitr4g 303 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (𝑥 𝑛𝐴 𝐵𝑥 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵))
4443eqrdv 2758 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → 𝑛𝐴 𝐵 = 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
4544adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 = 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
46 rspcsbela 4149 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑘) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
4733, 46sylan 489 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
4847an32s 881 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
4948ralrimiva 3104 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
50 iunmbl 23541 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
5149, 50syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
5245, 51eqeltrd 2839 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
5352ex 449 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
5453exlimiv 2007 . . . . 5 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
5510, 54sylbi 207 . . . 4 (𝐴 ≈ ℕ → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
569, 55jaoi 393 . . 3 ((𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ) → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
571, 56sylbi 207 . 2 (𝐴 ≼ ℕ → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
5857imp 444 1 ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  csb 3674   ciun 4672   class class class wbr 4804  ccnv 5265  dom cdm 5266  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  ωcom 7231  cen 8120  cdom 8121  csdm 8122  Fincfn 8123  cn 11232  volcvol 23452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xadd 12160  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-xmet 19961  df-met 19962  df-ovol 23453  df-vol 23454
This theorem is referenced by:  opnmblALT  23591  mbfimaopnlem  23641  mbfaddlem  23646  mbfsup  23650  dmvlsiga  30522
  Copyright terms: Public domain W3C validator