Theorem iunmapdisj 9056

Description: The union ∪ 𝑛 ∈ 𝐶(𝐴 ↑_𝑚 𝑛) is a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iunmapdisj	⊢ ∃*𝑛 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛)

Distinct variable group:   𝐵,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐶(𝑛)

Proof of Theorem iunmapdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moeq 3523	. . . 4 ⊢ ∃*𝑛 𝑛 = dom 𝐵
2		elmapi 8047	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛) → 𝐵:𝑛⟶𝐴)
3		fdm 6212	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵:𝑛⟶𝐴 → dom 𝐵 = 𝑛)
4	3	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐵:𝑛⟶𝐴 → 𝑛 = dom 𝐵)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛) → 𝑛 = dom 𝐵)
6	5	moimi 2658	. . . 4 ⊢ (∃*𝑛 𝑛 = dom 𝐵 → ∃*𝑛 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛))
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃*𝑛 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛)
8	7	moani 2663	. 2 ⊢ ∃*𝑛(𝑛 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛))
9		df-rmo 3058	. 2 ⊢ (∃*𝑛 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛) ↔ ∃*𝑛(𝑛 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛)))
10	8, 9	mpbir 221	1 ⊢ ∃*𝑛 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝑛)

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃*wmo 2608  ∃*wrmo 3053  dom cdm 5266  ⟶wf 6045  (class class class)co 6814   ↑_𝑚 cmap 8025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-map 8027

This theorem is referenced by: (None)