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Theorem iunfictbso 8922
Description: Countability of a countable union of finite sets with a strict (not globally well) order fulfilling the choice role. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunfictbso ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem iunfictbso
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8525 . . . . 5 ω ∈ V
210dom 8075 . . . 4 ∅ ≼ ω
3 breq1 4647 . . . 4 ( 𝐴 = ∅ → ( 𝐴 ≼ ω ↔ ∅ ≼ ω))
42, 3mpbiri 248 . . 3 ( 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ω)
54a1d 25 . 2 ( 𝐴 = ∅ → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
6 n0 3923 . . 3 ( 𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎 𝐴)
7 ne0i 3913 . . . . . . . . . 10 (𝑎 𝐴 𝐴 ≠ ∅)
8 unieq 4435 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
9 uni0 4456 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = ∅
108, 9syl6eq 2670 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
1110necon3i 2823 . . . . . . . . . 10 ( 𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑎 𝐴𝐴 ≠ ∅)
1312adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
14 simpl1 1062 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)
15 reldom 7946 . . . . . . . . . 10 Rel ≼
1615brrelexi 5148 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
17 0sdomg 8074 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1814, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1913, 18mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
20 fodomr 8096 . . . . . . 7 ((∅ ≺ 𝐴𝐴 ≼ ω) → ∃𝑏 𝑏:ω–onto𝐴)
2119, 14, 20syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → ∃𝑏 𝑏:ω–onto𝐴)
22 omelon 8528 . . . . . . . . . . . 12 ω ∈ On
23 onenon 8760 . . . . . . . . . . . 12 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ω ∈ dom card
25 xpnum 8762 . . . . . . . . . . 11 ((ω ∈ dom card ∧ ω ∈ dom card) → (ω × ω) ∈ dom card)
2624, 24, 25mp2an 707 . . . . . . . . . 10 (ω × ω) ∈ dom card
27 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝑏:ω–onto𝐴)
28 fof 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏:ω–onto𝐴𝑏:ω⟶𝐴)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝑏:ω⟶𝐴)
30 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝑓 ∈ ω)
3129, 30ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑏𝑓) ∈ 𝐴)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → (𝑏𝑓) ∈ 𝐴)
33 elssuni 4458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝑓) ∈ 𝐴 → (𝑏𝑓) ⊆ 𝐴)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → (𝑏𝑓) ⊆ 𝐴)
3531, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑏𝑓) ⊆ 𝐴)
36 simpll3 1100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝐵 Or 𝐴)
37 soss 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏𝑓) ⊆ 𝐴 → (𝐵 Or 𝐴𝐵 Or (𝑏𝑓)))
3835, 36, 37sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝐵 Or (𝑏𝑓))
39 simpll2 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝐴 ⊆ Fin)
4039, 31sseldd 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑏𝑓) ∈ Fin)
41 finnisoeu 8921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 Or (𝑏𝑓) ∧ (𝑏𝑓) ∈ Fin) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
4238, 40, 41syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
43 iotacl 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))})
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))})
45 iotaex 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ V
46 isoeq1 6552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) → (𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))))
47 isoeq1 6552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( = 𝑎 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ 𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))))
4847cbvabv 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))} = {𝑎𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))}
4945, 46, 48elab2 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))} ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
5044, 49sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
51 isof1o 6558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))–1-1-onto→(𝑏𝑓))
52 f1of 6124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))–1-1-onto→(𝑏𝑓) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))⟶(𝑏𝑓))
5350, 51, 523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))⟶(𝑏𝑓))
5453ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔) ∈ (𝑏𝑓))
5534, 54sseldd 3596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔) ∈ 𝐴)
56 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → 𝑎 𝐴)
5756ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ ¬ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → 𝑎 𝐴)
5855, 57ifclda 4111 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) ∈ 𝐴)
5958ralrimivva 2968 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → ∀𝑓 ∈ ω ∀𝑔 ∈ ω if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) ∈ 𝐴)
60 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)) = (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))
6160fmpt2 7222 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑓 ∈ ω ∀𝑔 ∈ ω if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) ∈ 𝐴 ↔ (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶ 𝐴)
6259, 61sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶ 𝐴)
63 eluni 4430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 𝐴 ↔ ∃𝑖(𝑐𝑖𝑖𝐴))
64 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → 𝑏:ω–onto𝐴)
65 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → 𝑖𝐴)
66 foelrn 6364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏:ω–onto𝐴𝑖𝐴) → ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = (𝑏𝑗))
6764, 65, 66syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = (𝑏𝑗))
68 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑗 ∈ ω)
69 ordom 7059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ord ω
70 simpll2 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝐴 ⊆ Fin)
71 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑏:ω–onto𝐴)
7271, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑏:ω⟶𝐴)
7372, 68ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑏𝑗) ∈ 𝐴)
7470, 73sseldd 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑏𝑗) ∈ Fin)
75 ficardom 8772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏𝑗) ∈ Fin → (card‘(𝑏𝑗)) ∈ ω)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (card‘(𝑏𝑗)) ∈ ω)
77 ordelss 5727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Ord ω ∧ (card‘(𝑏𝑗)) ∈ ω) → (card‘(𝑏𝑗)) ⊆ ω)
7869, 76, 77sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (card‘(𝑏𝑗)) ⊆ ω)
79 elssuni 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑏𝑗) ∈ 𝐴 → (𝑏𝑗) ⊆ 𝐴)
8073, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑏𝑗) ⊆ 𝐴)
81 simpll3 1100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝐵 Or 𝐴)
82 soss 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏𝑗) ⊆ 𝐴 → (𝐵 Or 𝐴𝐵 Or (𝑏𝑗)))
8380, 81, 82sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝐵 Or (𝑏𝑗))
84 finnisoeu 8921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 Or (𝑏𝑗) ∧ (𝑏𝑗) ∈ Fin) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
8583, 74, 84syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
86 iotacl 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))})
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))})
88 iotaex 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ V
89 isoeq1 6552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) → (𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
90 isoeq1 6552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ( = 𝑎 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) ↔ 𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
9190cbvabv 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))} = {𝑎𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))}
9288, 89, 91elab2 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))} ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
9387, 92sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
94 isof1o 6558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗))
96 f1ocnv 6136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)–1-1-onto→(card‘(𝑏𝑗)))
97 f1of 6124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)–1-1-onto→(card‘(𝑏𝑗)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)⟶(card‘(𝑏𝑗)))
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)⟶(card‘(𝑏𝑗)))
99 simprll 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑐𝑖)
100 simprrr 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑖 = (𝑏𝑗))
10199, 100eleqtrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑐 ∈ (𝑏𝑗))
10298, 101ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)))
10378, 102sseldd 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ ω)
104 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = 𝑗 → (𝑏𝑓) = (𝑏𝑗))
105104fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑗 → (card‘(𝑏𝑓)) = (card‘(𝑏𝑗)))
106105eleq2d 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑗 → (𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)) ↔ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗))))
107 isoeq4 6555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((card‘(𝑏𝑓)) = (card‘(𝑏𝑗)) → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓))))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = 𝑗 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓))))
109 isoeq5 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏𝑓) = (𝑏𝑗) → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
110104, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = 𝑗 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
111108, 110bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = 𝑗 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
112111iotabidv 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑗 → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) = (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
113112fveq1d 6180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑗 → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔) = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔))
114106, 113ifbieq1d 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑗 → if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) = if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔), 𝑎))
115 eleq1 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔 = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) → (𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗)) ↔ ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗))))
116 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔 = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔) = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)))
117115, 116ifbieq1d 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) → if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔), 𝑎) = if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎))
118 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) ∈ V
119 vex 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑎 ∈ V
120118, 119ifex 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎) ∈ V
121114, 117, 60, 120ovmpt2 6781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ω ∧ ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ ω) → (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎))
12268, 103, 121syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎))
123102iftrued 4085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎) = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)))
124 f1ocnvfv2 6518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗) ∧ 𝑐 ∈ (𝑏𝑗)) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = 𝑐)
12595, 101, 124syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = 𝑐)
126122, 123, 1253eqtrrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑐 = (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)))
127 rspceov 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ω ∧ ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ ω ∧ 𝑐 = (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐))) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
12868, 103, 126, 127syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
129128expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
130129expd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → (𝑗 ∈ ω → (𝑖 = (𝑏𝑗) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))))
131130rexlimdv 3026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → (∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = (𝑏𝑗) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
13267, 131mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
133132ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → ((𝑐𝑖𝑖𝐴) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
134133exlimdv 1859 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (∃𝑖(𝑐𝑖𝑖𝐴) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
13563, 134syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (𝑐 𝐴 → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
136135ralrimiv 2962 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → ∀𝑐 𝐴𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
137 foov 6793 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)–onto 𝐴 ↔ ((𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶ 𝐴 ∧ ∀𝑐 𝐴𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
13862, 136, 137sylanbrc 697 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)–onto 𝐴)
139 fodomnum 8865 . . . . . . . . . 10 ((ω × ω) ∈ dom card → ((𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)–onto 𝐴 𝐴 ≼ (ω × ω)))
14026, 138, 139mpsyl 68 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → 𝐴 ≼ (ω × ω))
141 xpomen 8823 . . . . . . . . 9 (ω × ω) ≈ ω
142 domentr 8000 . . . . . . . . 9 (( 𝐴 ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
143140, 141, 142sylancl 693 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → 𝐴 ≼ ω)
144143expr 642 . . . . . . 7 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → (𝑏:ω–onto𝐴 𝐴 ≼ ω))
145144exlimdv 1859 . . . . . 6 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → (∃𝑏 𝑏:ω–onto𝐴 𝐴 ≼ ω))
14621, 145mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)
147146expcom 451 . . . 4 (𝑎 𝐴 → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
148147exlimiv 1856 . . 3 (∃𝑎 𝑎 𝐴 → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
1496, 148sylbi 207 . 2 ( 𝐴 ≠ ∅ → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
1505, 149pm2.61ine 2874 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  ∃!weu 2468  {cab 2606  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  Vcvv 3195  wss 3567  c0 3907  ifcif 4077   cuni 4427   class class class wbr 4644   E cep 5018   Or wor 5024   × cxp 5102  ccnv 5103  dom cdm 5104  Ord word 5710  Oncon0 5711  cio 5837  wf 5872  ontowfo 5874  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876   Isom wiso 5877  (class class class)co 6635  cmpt2 6637  ωcom 7050  cen 7937  cdom 7938  csdm 7939  Fincfn 7940  cardccrd 8746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-oi 8400  df-card 8750  df-acn 8753
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