MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iundom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundom 9556
Description: An upper bound for the cardinality of an indexed union. 𝐶 depends on 𝑥 and should be thought of as 𝐶(𝑥). (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
iundom ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iundom
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . 2 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶)
2 simpl 474 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝐴𝑉)
3 ovex 6841 . . . . . 6 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V
43rgenw 3062 . . . . 5 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V
5 iunexg 7308 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V) → 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V)
62, 4, 5sylancl 697 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V)
7 numth3 9484 . . . 4 ( 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V → 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ dom card)
86, 7syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ dom card)
9 numacn 9062 . . 3 (𝐴𝑉 → ( 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ dom card → 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ AC 𝐴))
102, 8, 9sylc 65 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ AC 𝐴)
11 simpr 479 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵)
12 reldom 8127 . . . . . 6 Rel ≼
1312brrelexi 5315 . . . . 5 (𝐶𝐵𝐶 ∈ V)
1413ralimi 3090 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝐶 ∈ V)
15 iunexg 7308 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶 ∈ V) → 𝑥𝐴 𝐶 ∈ V)
1614, 15sylan2 492 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 𝐶 ∈ V)
171, 10, 11iundom2g 9554 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵))
1812brrelex2i 5316 . . . 4 ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19 numth3 9484 . . . 4 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
2017, 18, 193syl 18 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
21 numacn 9062 . . 3 ( 𝑥𝐴 𝐶 ∈ V → ((𝐴 × 𝐵) ∈ dom card → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐶))
2216, 20, 21sylc 65 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐶)
231, 10, 11, 22iundomg 9555 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵) → 𝑥𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  {csn 4321   ciun 4672   class class class wbr 4804   × cxp 5264  dom cdm 5266  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  cdom 8119  cardccrd 8951  AC wacn 8954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-ac2 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-card 8955  df-acn 8958  df-ac 9129
This theorem is referenced by:  unidom  9557  alephreg  9596  inar1  9789
  Copyright terms: Public domain W3C validator