Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundjiunlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundjiunlem 41197
 Description: The sets in the sequence 𝐹 are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iundjiunlem.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
iundjiunlem.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
iundjiunlem.j (𝜑𝐽𝑍)
iundjiunlem.k (𝜑𝐾𝑍)
iundjiunlem.lt (𝜑𝐽 < 𝐾)
Assertion
Ref Expression
iundjiunlem (𝜑 → ((𝐹𝐽) ∩ (𝐹𝐾)) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑖,𝐽,𝑛   𝑖,𝐾,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem iundjiunlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incom 3948 . . 3 ((𝐹𝐽) ∩ (𝐹𝐾)) = ((𝐹𝐾) ∩ (𝐹𝐽))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐽) ∩ (𝐹𝐾)) = ((𝐹𝐾) ∩ (𝐹𝐽)))
3 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → 𝜑)
4 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝐾))
5 iundjiunlem.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾𝑍)
6 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝐾 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝐾))
7 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝐾 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐾))
87iuneq1d 4697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝐾 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
96, 8difeq12d 3872 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐾 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
10 iundjiunlem.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
11 fvex 6363 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸𝐾) ∈ V
12 difexg 4960 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝐾) ∈ V → ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)) ∈ V)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)) ∈ V
149, 10, 13fvmpt 6445 . . . . . . . . . . 11 (𝐾𝑍 → (𝐹𝐾) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
155, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐾) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
163, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → (𝐹𝐾) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
174, 16eleqtrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
18 eldifn 3876 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)) → ¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
20 iundjiunlem.j . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽𝑍)
21 iundjiunlem.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑁)
2220, 21syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝑁))
2321a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 = (ℤ𝑁))
245, 23eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
25 eluzelz 11909 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
27 iundjiunlem.lt . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 < 𝐾)
2822, 26, 273jca 1123 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐾))
29 elfzo2 12687 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾) ↔ (𝐽 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐾))
3028, 29sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾))
31 fveq2 6353 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐽 → (𝐸𝑖) = (𝐸𝐽))
3231ssiun2s 4716 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾) → (𝐸𝐽) ⊆ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
3330, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸𝐽) ⊆ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
3433ssneld 3746 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝐽)))
353, 19, 34sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝐽))
36 eldifi 3875 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐽))
3736con3i 150 . . . . . 6 𝑥 ∈ (𝐸𝐽) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
3835, 37syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
39 fveq2 6353 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐽 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝐽))
40 oveq2 6822 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐽 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐽))
4140iuneq1d 4697 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐽 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖))
4239, 41difeq12d 3872 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐽 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
43 fvex 6363 . . . . . . . . . 10 (𝐸𝐽) ∈ V
44 difexg 4960 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐽) ∈ V → ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)) ∈ V)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)) ∈ V
4642, 10, 45fvmpt 6445 . . . . . . . 8 (𝐽𝑍 → (𝐹𝐽) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
4720, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐽) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
4847adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → (𝐹𝐽) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
4948eqcomd 2766 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)) = (𝐹𝐽))
5038, 49neleqtrd 2860 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹𝐽))
5150ralrimiva 3104 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹𝐽))
52 disj 4160 . . 3 (((𝐹𝐾) ∩ (𝐹𝐽)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹𝐽))
5351, 52sylibr 224 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐾) ∩ (𝐹𝐽)) = ∅)
542, 53eqtrd 2794 1 (𝜑 → ((𝐹𝐽) ∩ (𝐹𝐾)) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ∪ ciun 4672   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   < clt 10286  ℤcz 11589  ℤ≥cuz 11899  ..^cfzo 12679 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680 This theorem is referenced by:  iundjiun  41198
 Copyright terms: Public domain W3C validator