Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundjiunlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundjiunlem 41197
Description: The sets in the sequence 𝐹 are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iundjiunlem.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
iundjiunlem.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
iundjiunlem.j (𝜑𝐽𝑍)
iundjiunlem.k (𝜑𝐾𝑍)
iundjiunlem.lt (𝜑𝐽 < 𝐾)
Assertion
Ref Expression
iundjiunlem (𝜑 → ((𝐹𝐽) ∩ (𝐹𝐾)) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑖,𝐽,𝑛   𝑖,𝐾,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem iundjiunlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incom 3948 . . 3 ((𝐹𝐽) ∩ (𝐹𝐾)) = ((𝐹𝐾) ∩ (𝐹𝐽))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐽) ∩ (𝐹𝐾)) = ((𝐹𝐾) ∩ (𝐹𝐽)))
3 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → 𝜑)
4 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝐾))
5 iundjiunlem.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾𝑍)
6 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝐾 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝐾))
7 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝐾 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐾))
87iuneq1d 4697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝐾 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
96, 8difeq12d 3872 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐾 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
10 iundjiunlem.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
11 fvex 6363 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸𝐾) ∈ V
12 difexg 4960 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝐾) ∈ V → ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)) ∈ V)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)) ∈ V
149, 10, 13fvmpt 6445 . . . . . . . . . . 11 (𝐾𝑍 → (𝐹𝐾) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
155, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐾) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
163, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → (𝐹𝐾) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
174, 16eleqtrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
18 eldifn 3876 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)) → ¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
20 iundjiunlem.j . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽𝑍)
21 iundjiunlem.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑁)
2220, 21syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝑁))
2321a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 = (ℤ𝑁))
245, 23eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
25 eluzelz 11909 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
27 iundjiunlem.lt . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 < 𝐾)
2822, 26, 273jca 1123 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐾))
29 elfzo2 12687 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾) ↔ (𝐽 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐾))
3028, 29sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾))
31 fveq2 6353 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐽 → (𝐸𝑖) = (𝐸𝐽))
3231ssiun2s 4716 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾) → (𝐸𝐽) ⊆ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
3330, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸𝐽) ⊆ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
3433ssneld 3746 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝐽)))
353, 19, 34sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝐽))
36 eldifi 3875 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐽))
3736con3i 150 . . . . . 6 𝑥 ∈ (𝐸𝐽) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
3835, 37syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
39 fveq2 6353 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐽 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝐽))
40 oveq2 6822 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐽 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐽))
4140iuneq1d 4697 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐽 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖))
4239, 41difeq12d 3872 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐽 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
43 fvex 6363 . . . . . . . . . 10 (𝐸𝐽) ∈ V
44 difexg 4960 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐽) ∈ V → ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)) ∈ V)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)) ∈ V
4642, 10, 45fvmpt 6445 . . . . . . . 8 (𝐽𝑍 → (𝐹𝐽) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
4720, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐽) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
4847adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → (𝐹𝐽) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
4948eqcomd 2766 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)) = (𝐹𝐽))
5038, 49neleqtrd 2860 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹𝐽))
5150ralrimiva 3104 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹𝐽))
52 disj 4160 . . 3 (((𝐹𝐾) ∩ (𝐹𝐽)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹𝐽))
5351, 52sylibr 224 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐾) ∩ (𝐹𝐽)) = ∅)
542, 53eqtrd 2794 1 (𝜑 → ((𝐹𝐽) ∩ (𝐹𝐾)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  cdif 3712  cin 3714  wss 3715  c0 4058   ciun 4672   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6814   < clt 10286  cz 11589  cuz 11899  ..^cfzo 12679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680
This theorem is referenced by:  iundjiun  41198
  Copyright terms: Public domain W3C validator