Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisjfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundisjfi 29683
Description: Rewrite a countable union as a disjoint union, finite version. Cf. iundisj 23362. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisj3.0 𝑛𝐵
iundisj3.1 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
iundisjfi 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑁   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisjfi
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3720 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ⊆ (1..^𝑁)
2 fzossnn 12556 . . . . . . . . . 10 (1..^𝑁) ⊆ ℕ
3 nnuz 11761 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3sseqtri 3670 . . . . . . . . 9 (1..^𝑁) ⊆ (ℤ‘1)
51, 4sstri 3645 . . . . . . . 8 {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ⊆ (ℤ‘1)
6 rabn0 3991 . . . . . . . . 9 ({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴)
76biimpri 218 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ≠ ∅)
8 infssuzcl 11810 . . . . . . . 8 (({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴})
95, 7, 8sylancr 696 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴})
101, 9sseldi 3634 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁))
11 nfrab1 3152 . . . . . . . . . . 11 𝑛{𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}
12 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑛
13 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑛 <
1411, 12, 13nfinf 8429 . . . . . . . . . 10 𝑛inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )
15 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑛(1..^𝑁)
1614nfcsb1 3581 . . . . . . . . . . 11 𝑛inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴
1716nfcri 2787 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝑥inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴
18 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → 𝐴 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴)
1918eleq2d 2716 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥𝐴𝑥inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴))
2014, 15, 17, 19elrabf 3392 . . . . . . . . 9 (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ↔ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴))
219, 20sylib 208 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴))
2221simprd 478 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑥inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴)
231, 2sstri 3645 . . . . . . . . . . 11 {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℕ
24 nnssre 11062 . . . . . . . . . . 11 ℕ ⊆ ℝ
2523, 24sstri 3645 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℝ
2625, 9sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2726ltnrd 10209 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → ¬ inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
28 eliun 4556 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝑥𝐵)
2926ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
30 elfzouz2 12523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )))
31 fzoss2 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )) → (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )) ⊆ (1..^𝑁))
3210, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )) ⊆ (1..^𝑁))
3332sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ (1..^𝑁))
352, 34sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . 13 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ)
3635nnred 11073 . . . . . . . . . . . 12 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ ℝ)
37 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
38 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑘
39 iundisj3.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝐵
4039nfcri 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 𝑥𝐵
41 iundisj3.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
4241eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
4338, 15, 40, 42elrabf 3392 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ↔ (𝑘 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥𝐵))
4434, 37, 43sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . 13 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴})
45 infssuzle 11809 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
465, 44, 45sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
47 elfzolt2 12518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
4847ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑘 < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
4929, 36, 29, 46, 48lelttrd 10233 . . . . . . . . . . 11 (((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) ∧ 𝑥𝐵) → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))
5049ex 449 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))) → (𝑥𝐵 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )))
5150rexlimdva 3060 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → (∃𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝑥𝐵 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )))
5228, 51syl5bi 232 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → (𝑥 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵 → inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) < inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )))
5327, 52mtod 189 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → ¬ 𝑥 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
5422, 53eldifd 3618 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴𝑥 ∈ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
55 csbeq1 3569 . . . . . . . . 9 (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → 𝑚 / 𝑛𝐴 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴)
56 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → (1..^𝑚) = (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < )))
5756iuneq1d 4577 . . . . . . . . 9 (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵)
5855, 57difeq12d 3762 . . . . . . . 8 (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) = (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵))
5958eleq2d 2716 . . . . . . 7 (𝑚 = inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵)))
6059rspcev 3340 . . . . . 6 ((inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ) / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^inf({𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∣ 𝑥𝐴}, ℝ, < ))𝐵)) → ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
6110, 54, 60syl2anc 694 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
62 nfv 1883 . . . . . 6 𝑚 𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
63 nfcsb1v 3582 . . . . . . . 8 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
64 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑛(1..^𝑚)
6564, 39nfiun 4580 . . . . . . . 8 𝑛 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵
6663, 65nfdif 3764 . . . . . . 7 𝑛(𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
6766nfcri 2787 . . . . . 6 𝑛 𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
68 csbeq1a 3575 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
69 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (1..^𝑛) = (1..^𝑚))
7069iuneq1d 4577 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵 = 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)
7168, 70difeq12d 3762 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
7271eleq2d 2716 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵)))
7362, 67, 72cbvrex 3198 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑚 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝑚 / 𝑛𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑚)𝐵))
7461, 73sylibr 224 . . . 4 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 → ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
75 eldifi 3765 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → 𝑥𝐴)
7675reximi 3040 . . . 4 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) → ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴)
7774, 76impbii 199 . . 3 (∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
78 eliun 4556 . . 3 (𝑥 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥𝐴)
79 eliun 4556 . . 3 (𝑥 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝑥 ∈ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
8077, 78, 793bitr4i 292 . 2 (𝑥 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴𝑥 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
8180eqriv 2648 1 𝑛 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = 𝑛 ∈ (1..^𝑁)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wnfc 2780  wne 2823  wrex 2942  {crab 2945  csb 3566  cdif 3604  wss 3607  c0 3948   ciun 4552   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  cr 9973  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  cuz 11725  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  iundisjcnt  29685
  Copyright terms: Public domain W3C validator