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Theorem iunconnlem2 39485
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. This proof was automatically derived by completeusersproof from its Virtual Deduction proof counterpart http://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. As it is verified by the Metamath program, iunconnlem2 39485 verifies http://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. (Contributed by Alan Sare, 22-Apr-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iunconnlem2.1 (𝜓 ↔ ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
iunconnlem2.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
iunconnlem2.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
iunconnlem2.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
iunconnlem2.5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
Assertion
Ref Expression
iunconnlem2 (𝜑 → (𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑘,𝑣,𝜑   𝐴,𝑘,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑘,𝐽,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘   𝑘,𝑋,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑣,𝑢,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑃(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iunconnlem2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunconnlem2.2 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 iunconnlem2.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
32ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵𝑋))
43ralrimiv 2994 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑋)
5 iunss 4593 . . . 4 ( 𝑘𝐴 𝐵𝑋 ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵𝑋)
65biimpri 218 . . 3 (∀𝑘𝐴 𝐵𝑋 𝑘𝐴 𝐵𝑋)
74, 6syl 17 . 2 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵𝑋)
8 iunconnlem2.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜓 ↔ ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
98biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜓 → ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
109simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))
11 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜓 → (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
13 n0 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
1413biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜓 → ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
16 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ⊆ 𝑘𝐴 𝐵
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵))
1816, 17sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝑤 𝑘𝐴 𝐵)
19 eliun 4556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 𝑘𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘𝐴 𝑤𝐵)
2019biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 𝑘𝐴 𝐵 → ∃𝑘𝐴 𝑤𝐵)
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → ∃𝑘𝐴 𝑤𝐵)
22 rexn0 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑘𝐴 𝑤𝐵𝐴 ≠ ∅)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
2423exlimiv 1898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
2515, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜓𝐴 ≠ ∅)
26 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝜑𝑢𝐽)
27 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘 𝑣𝐽
2826, 27nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽)
29 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘𝑢
30 nfiu1 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 𝑘𝐴 𝐵
3129, 30nfin 3853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝑢 𝑘𝐴 𝐵)
32 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘
3331, 32nfne 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘(𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅
3428, 33nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
35 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘𝑣
3635, 30nfin 3853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘(𝑣 𝑘𝐴 𝐵)
3736, 32nfne 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅
3834, 37nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
39 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(𝑢𝑣)
40 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘𝑋
4140, 30nfdif 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘(𝑋 𝑘𝐴 𝐵)
4239, 41nfss 3629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘(𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)
4338, 42nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘(((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
44 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘(𝑢𝑣)
4530, 44nfss 3629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)
4643, 45nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))
478nfbii 1818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ⅎ𝑘𝜓 ↔ Ⅎ𝑘((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
4846, 47mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝜓
49 simp-6l 827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → 𝜑)
509, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜓𝜑)
51 iunconnlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
5250, 51sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜓𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
5352ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜓 → (𝑘𝐴𝑃𝐵))
5448, 53ralrimi 2986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜓 → ∀𝑘𝐴 𝑃𝐵)
55 r19.2z 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑘𝐴 𝑃𝐵) → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
5655ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑘𝐴 𝑃𝐵𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
5756ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑘𝐴 𝑃𝐵) → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
5825, 54, 57syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜓 → ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
59 eliun 4556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 𝑘𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘𝐴 𝑃𝐵)
6059biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑘𝐴 𝑃𝐵𝑃 𝑘𝐴 𝐵)
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝑃 𝑘𝐴 𝐵)
6210, 61sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓𝑃 ∈ (𝑢𝑣))
63 elun 3786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (𝑢𝑣) ↔ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
6463biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (𝑢𝑣) → (𝑃𝑢𝑃𝑣))
6562, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜓 → (𝑃𝑢𝑃𝑣))
668, 65sylbir 225 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑃𝑢𝑃𝑣))
6750, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6850, 2sylan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜓𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
69 iunconnlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
7050, 69sylan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜓𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
71 simp-6r 828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → 𝑢𝐽)
729, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝑢𝐽)
73 simp-5r 826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → 𝑣𝐽)
749, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝑣𝐽)
75 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
769, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 → (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
77 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
789, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 → (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
7967, 68, 52, 70, 72, 74, 76, 78, 10, 48iunconnlem 21278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓 → ¬ 𝑃𝑢)
80 incom 3838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
8180, 78syl5eqss 3682 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 → (𝑣𝑢) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
82 uncom 3790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
8310, 82syl6sseqr 3685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑣𝑢))
8467, 68, 52, 70, 74, 72, 12, 81, 83, 48iunconnlem 21278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓 → ¬ 𝑃𝑣)
85 pm4.56 515 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑃𝑣) ↔ ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
8685biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑃𝑣) → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
8786idiALT 39000 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑃𝑢 ∧ ¬ 𝑃𝑣) → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
8879, 84, 87syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜓 → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
898, 88sylbir 225 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)) → ¬ (𝑃𝑢𝑃𝑣))
9066, 89pm2.65da 599 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))
9190ex 449 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) → ((𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
9291ex 449 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑢𝐽) ∧ 𝑣𝐽) ∧ (𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅) → ((𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
9392ex3 1282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐽𝑣𝐽) → ((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ → ((𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))))
94933impd 1303 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝐽𝑣𝐽) → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
95943expia 1286 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝐽) → (𝑣𝐽 → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
9695ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑢𝐽 → (𝑣𝐽 → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))))
9796impd 446 . . 3 (𝜑 → ((𝑢𝐽𝑣𝐽) → (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
9897ralrimivv 2999 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝐽𝑣𝐽 (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣)))
99 connsub 21272 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑘𝐴 𝐵𝑋) → ((𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn ↔ ∀𝑢𝐽𝑣𝐽 (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))))
10099biimp3ar 1473 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑘𝐴 𝐵𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽𝑣𝐽 (((𝑢 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢𝑣))) → (𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn)
1011, 7, 98, 100syl3anc 1366 1 (𝜑 → (𝐽t 𝑘𝐴 𝐵) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054  wex 1744  wnf 1748  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948   ciun 4552  cfv 5926  (class class class)co 6690  t crest 16128  TopOnctopon 20763  Conncconn 21262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001  df-fi 8358  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cld 20871  df-conn 21263
This theorem is referenced by:  iunconnALT  39486
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