Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgvol0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgvol0 40706
 Description: If the domani is negligible, the function is integrable and the integral is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgvol0.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itgvol0.2 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itgvol0.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
itgvol0 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgvol0
StepHypRef Expression
1 mpt0 6183 . . . 4 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
2 iblempty 40703 . . . 4 ∅ ∈ 𝐿1
31, 2eqeltri 2836 . . 3 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1
4 0ss 4116 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝐴
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ⊆ 𝐴)
6 itgvol0.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 difssd 3882 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∖ ∅) ⊆ 𝐴)
8 itgvol0.2 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
9 ovolssnul 23476 . . . . . 6 (((𝐴 ∖ ∅) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(𝐴 ∖ ∅)) = 0)
107, 6, 8, 9syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ ∅)) = 0)
11 itgvol0.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
125, 6, 10, 11itgss3 23801 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1) ∧ ∫∅𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐵 d𝑥))
1312simpld 477 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1))
143, 13mpbii 223 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
15 itg0 23766 . . 3 ∫∅𝐵 d𝑥 = 0
1612simprd 482 . . 3 (𝜑 → ∫∅𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐵 d𝑥)
1715, 16syl5reqr 2810 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = 0)
1814, 17jca 555 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ∖ cdif 3713   ⊆ wss 3716  ∅c0 4059   ↦ cmpt 4882  ‘cfv 6050  ℂcc 10147  ℝcr 10148  0cc0 10149  vol*covol 23452  𝐿1cibl 23606  ∫citg 23607 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-disj 4774  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-ofr 7065  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12393  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-sum 14637  df-rest 16306  df-topgen 16327  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-top 20922  df-topon 20939  df-bases 20973  df-cmp 21413  df-ovol 23454  df-vol 23455  df-mbf 23608  df-itg1 23609  df-itg2 23610  df-ibl 23611  df-itg 23612  df-0p 23657 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator