MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsubstlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsubstlem 23856
Description: Lemma for itgsubst 23857. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
itgsubst.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
itgsubst.le (𝜑𝑋𝑌)
itgsubst.z (𝜑𝑍 ∈ ℝ*)
itgsubst.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ*)
itgsubst.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑍(,)𝑊)))
itgsubst.b (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
itgsubst.c (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑍(,)𝑊)–cn→ℂ))
itgsubst.da (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
itgsubst.e (𝑢 = 𝐴𝐶 = 𝐸)
itgsubst.k (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝐾)
itgsubst.l (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝐿)
itgsubst.m (𝜑𝑀 ∈ (𝑍(,)𝑊))
itgsubst.n (𝜑𝑁 ∈ (𝑍(,)𝑊))
itgsubst.cl2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁))
Assertion
Ref Expression
itgsubstlem (𝜑 → ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐸   𝑥,𝑢,𝐾   𝑢,𝑀,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥   𝑢,𝑋,𝑥   𝑢,𝑌,𝑥   𝑢,𝐴   𝑥,𝐶   𝑢,𝑊,𝑥   𝑢,𝐿,𝑥   𝑢,𝑁,𝑥   𝑢,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐶(𝑢)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem itgsubstlem
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑡 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.le . . 3 (𝜑𝑋𝑌)
21ditgpos 23665 . 2 (𝜑 → ⨜[𝑋𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 · 𝐵) d𝑥)
3 itgsubst.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4 itgsubst.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
5 ax-resscn 10031 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
7 iccssre 12293 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
83, 4, 7syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
9 itgsubst.cl2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁))
10 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴))
11 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) = (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢))
12 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝐴 → (𝑀(,)𝑣) = (𝑀(,)𝐴))
13 itgeq1 23584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀(,)𝑣) = (𝑀(,)𝐴) → ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢 = ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 → ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢 = ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)
159, 10, 11, 14fmptco 6436 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))
16 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)
179, 16fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑀(,)𝑁))
18 ioossicc 12297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
19 itgsubst.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑍 ∈ ℝ*)
20 itgsubst.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑊 ∈ ℝ*)
21 itgsubst.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ (𝑍(,)𝑊))
22 eliooord 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ (𝑍(,)𝑊) → (𝑍 < 𝑀𝑀 < 𝑊))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑍 < 𝑀𝑀 < 𝑊))
2423simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑍 < 𝑀)
25 itgsubst.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ (𝑍(,)𝑊))
26 eliooord 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (𝑍(,)𝑊) → (𝑍 < 𝑁𝑁 < 𝑊))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑍 < 𝑁𝑁 < 𝑊))
2827simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 < 𝑊)
29 iccssioo 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑍 ∈ ℝ*𝑊 ∈ ℝ*) ∧ (𝑍 < 𝑀𝑁 < 𝑊)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝑍(,)𝑊))
3019, 20, 24, 28, 29syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝑍(,)𝑊))
3118, 30syl5ss 3647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑍(,)𝑊))
32 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑍(,)𝑊) ⊆ ℝ
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑍(,)𝑊) ⊆ ℝ)
3433, 5syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍(,)𝑊) ⊆ ℂ)
3531, 34sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℂ)
36 itgsubst.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑍(,)𝑊)))
37 cncffvrn 22748 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀(,)𝑁) ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑍(,)𝑊))) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑀(,)𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑀(,)𝑁)))
3835, 36, 37syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑀(,)𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑀(,)𝑁)))
3917, 38mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑀(,)𝑁)))
4018sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁))
4132, 25sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
4241rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
4432, 21sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
45 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑣𝑣𝑁)))
4644, 41, 45syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑣𝑣𝑁)))
4746biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑣𝑣𝑁))
4847simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑣𝑁)
49 iooss2 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℝ*𝑣𝑁) → (𝑀(,)𝑣) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
5043, 48, 49syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑀(,)𝑣) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
5150sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑣)) → 𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁))
5231sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊))
53 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑍(,)𝑊)–cn→ℂ))
54 cncff 22743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑍(,)𝑊)–cn→ℂ) → (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶):(𝑍(,)𝑊)⟶ℂ)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶):(𝑍(,)𝑊)⟶ℂ)
56 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶)
5756fmpt 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊)𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶):(𝑍(,)𝑊)⟶ℂ)
5855, 57sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊)𝐶 ∈ ℂ)
5958r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6052, 59syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6160adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6251, 61syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑣)) → 𝐶 ∈ ℂ)
63 ioombl 23379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀(,)𝑣) ∈ dom vol
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑀(,)𝑣) ∈ dom vol)
6518a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
66 ioombl 23379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀(,)𝑁) ∈ dom vol
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ∈ dom vol)
6830sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊))
6968, 59syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
7030resmptd 5487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀[,]𝑁)) = (𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶))
71 rescncf 22747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝑍(,)𝑊) → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑍(,)𝑊)–cn→ℂ) → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ)))
7230, 53, 71sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀[,]𝑁)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
7370, 72eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
74 cniccibl 23652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ)) → (𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7544, 41, 73, 74syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7665, 67, 69, 75iblss 23616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7850, 64, 61, 77iblss 23616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑣) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7962, 78itgcl 23595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
8040, 79sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
81 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) = (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)
8280, 81fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢):(𝑀(,)𝑁)⟶ℂ)
8331, 32syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ)
84 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 = 𝑢 → ((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) = ((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢))
85 nffvmpt1 6237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑢((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡)
86 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑡((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢)
8784, 85, 86cbvitg 23587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢) d𝑢
88 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)
8988fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢) = 𝐶)
9051, 62, 89syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑣)) → ((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢) = 𝐶)
9190itgeq2dv 23593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑢) d𝑢 = ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)
9287, 91syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)
9392mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡) = (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢))
9493oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡)) = (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)))
95 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡) = (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡)
963rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
974rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
98 lbicc2 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
9996, 97, 1, 98syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
100 n0i 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) → ¬ (𝑋[,]𝑌) = ∅)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ (𝑋[,]𝑌) = ∅)
102 feq3 6066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀(,)𝑁) = ∅ → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑀(,)𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶∅))
10317, 102syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑀(,)𝑁) = ∅ → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶∅))
104 f00 6125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶∅ ↔ ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) = ∅ ∧ (𝑋[,]𝑌) = ∅))
105104simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶∅ → (𝑋[,]𝑌) = ∅)
106103, 105syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑀(,)𝑁) = ∅ → (𝑋[,]𝑌) = ∅))
107101, 106mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ (𝑀(,)𝑁) = ∅)
10844rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
109 ioo0 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*) → ((𝑀(,)𝑁) = ∅ ↔ 𝑁𝑀))
110108, 42, 109syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑀(,)𝑁) = ∅ ↔ 𝑁𝑀))
111107, 110mtbid 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ¬ 𝑁𝑀)
11241, 44letrid 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑁𝑀𝑀𝑁))
113112ord 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (¬ 𝑁𝑀𝑀𝑁))
114111, 113mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀𝑁)
115 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀(,)𝑁)) = (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))
11618, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀(,)𝑁)) = (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)
117 rescncf 22747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ) → ((𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀(,)𝑁)) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cn→ℂ)))
11818, 73, 117mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐶) ↾ (𝑀(,)𝑁)) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cn→ℂ))
119116, 118syl5eqelr 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cn→ℂ))
12095, 44, 41, 114, 119, 76ftc1cn 23851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)((𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶)‘𝑡) d𝑡)) = (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))
12130, 32syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
122 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
123122tgioo2 22653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
124 iccntr 22671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
12544, 41, 124syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑀[,]𝑁)) = (𝑀(,)𝑁))
1266, 121, 79, 123, 122, 125dvmptntr 23779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)))
12794, 120, 1263eqtr3rd 2694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))
128127dmeqd 5358 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = dom (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶))
12988, 60dmmptd 6062 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑀(,)𝑁))
130128, 129eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = (𝑀(,)𝑁))
131 dvcn 23729 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢):(𝑀(,)𝑁)⟶ℂ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = (𝑀(,)𝑁)) → (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cn→ℂ))
1326, 82, 83, 130, 131syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) ∈ ((𝑀(,)𝑁)–cn→ℂ))
13339, 132cncfco 22757 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
13415, 133eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
135 cncff 22743 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
137 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)
138137fmpt 6421 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
139136, 138sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
140139r19.21bi 2961 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
141 iccntr 22671 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
1423, 4, 141syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
1436, 8, 140, 123, 122, 142dvmptntr 23779 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)))
144 reelprrecn 10066 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
145144a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
146 ioossicc 12297 . . . . . . . . 9 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
147146sseli 3632 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌))
148147, 9sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁))
149 itgsubst.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
150 elin 3829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1) ↔ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1))
151149, 150sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1))
152151simpld 474 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
153 cncff 22743 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
154152, 153syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
155 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)
156155fmpt 6421 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
157154, 156sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝐵 ∈ ℂ)
158157r19.21bi 2961 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℂ)
15960, 88fmptd 6425 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℂ)
160 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑣𝐶
161 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . 11 𝑢𝑣 / 𝑢𝐶
162 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑣𝐶 = 𝑣 / 𝑢𝐶)
163160, 161, 162cbvmpt 4782 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶) = (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑣 / 𝑢𝐶)
164163fmpt 6421 . . . . . . . . 9 (∀𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝑣 / 𝑢𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝑢 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐶):(𝑀(,)𝑁)⟶ℂ)
165159, 164sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝑣 / 𝑢𝐶 ∈ ℂ)
166165r19.21bi 2961 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑣 / 𝑢𝐶 ∈ ℂ)
16732, 5sstri 3645 . . . . . . . . . 10 (𝑍(,)𝑊) ⊆ ℂ
168 cncff 22743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝑍(,)𝑊)) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑍(,)𝑊))
16936, 168syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑍(,)𝑊))
17016fmpt 6421 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐴 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑍(,)𝑊))
171169, 170sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐴 ∈ (𝑍(,)𝑊))
172171r19.21bi 2961 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ (𝑍(,)𝑊))
173167, 172sseldi 3634 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1746, 8, 173, 123, 122, 142dvmptntr 23779 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)))
175 itgsubst.da . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
176174, 175eqtr3d 2687 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
177127, 163syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ∫(𝑀(,)𝑣)𝐶 d𝑢)) = (𝑣 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑣 / 𝑢𝐶))
178 csbeq1 3569 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴𝑣 / 𝑢𝐶 = 𝐴 / 𝑢𝐶)
179145, 145, 148, 158, 80, 166, 176, 177, 14, 178dvmptco 23780 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 / 𝑢𝐶 · 𝐵)))
180 nfcvd 2794 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑢𝐸)
181 itgsubst.e . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝐴𝐶 = 𝐸)
182180, 181csbiegf 3590 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝐴 / 𝑢𝐶 = 𝐸)
183148, 182syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐴 / 𝑢𝐶 = 𝐸)
184183oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐴 / 𝑢𝐶 · 𝐵) = (𝐸 · 𝐵))
185184mpteq2dva 4777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 / 𝑢𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵)))
186143, 179, 1853eqtrd 2689 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵)))
187 resmpt 5484 . . . . . . . 8 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸))
188146, 187ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
189 eqidd 2652 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶))
190172, 10, 189, 181fmptco 6436 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸))
19136, 53cncfco 22757 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
192190, 191eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
193 rescncf 22747 . . . . . . . 8 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
194146, 192, 193mpsyl 68 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
195188, 194syl5eqelr 2735 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
196195, 152mulcncf 23261 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
197186, 196eqeltrd 2730 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
198 ioombl 23379 . . . . . . . 8 (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
199198a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
200 fco 6096 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶):(𝑍(,)𝑊)⟶ℂ ∧ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝑍(,)𝑊)) → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
20155, 169, 200syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
202190feq1d 6068 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑢 ∈ (𝑍(,)𝑊) ↦ 𝐶) ∘ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ))
203201, 202mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
204 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)
205204fmpt 6421 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐸 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
206203, 205sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐸 ∈ ℂ)
207206r19.21bi 2961 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐸 ∈ ℂ)
208147, 207sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℂ)
209 eqidd 2652 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸))
210 eqidd 2652 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
211199, 208, 158, 209, 210offval2 6956 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵)))
212186, 211eqtr4d 2688 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)))
213146a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
214 cniccibl 23652 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
2153, 4, 192, 214syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
216213, 199, 207, 215iblss 23616 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
217 iblmbf 23579 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ MblFn)
218216, 217syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ MblFn)
219151simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
220 cniccbdd 23276 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦)
2213, 4, 192, 220syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦)
222 ssralv 3699 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → (∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
223146, 222ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦)
224 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
225224, 208dmmptd 6062 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) = (𝑋(,)𝑌))
226225raleqdv 3174 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
227188fveq1i 6230 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)
228 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸) ↾ (𝑋(,)𝑌))‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧))
229227, 228syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧))
230229fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) = (abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)))
231230breq1d 4695 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
232231ralbiia 3008 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦)
233226, 232syl6rbb 277 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ (𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
234223, 233syl5ib 234 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
235234reximdv 3045 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦))
236221, 235mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦)
237 bddmulibl 23650 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)(abs‘((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)‘𝑧)) ≤ 𝑦) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐿1)
238218, 219, 236, 237syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)) ∈ 𝐿1)
239212, 238eqeltrd 2730 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)) ∈ 𝐿1)
2403, 4, 1, 197, 239, 134ftc2 23852 . . 3 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑋)))
241 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑡 = 𝑥 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑡) = ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥))
242 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑥
243 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑥 D
244 nfmpt1 4780 . . . . . . 7 𝑥(𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)
245242, 243, 244nfov 6716 . . . . . 6 𝑥(ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))
246 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑥𝑡
247245, 246nffv 6236 . . . . 5 𝑥((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑡)
248 nfcv 2793 . . . . 5 𝑡((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥)
249241, 247, 248cbvitg 23587 . . . 4 ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥) d𝑥
250186fveq1d 6231 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵))‘𝑥))
251 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝐸 · 𝐵) ∈ V
252 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵))
253252fvmpt2 6330 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ (𝐸 · 𝐵) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵))‘𝑥) = (𝐸 · 𝐵))
254251, 253mpan2 707 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 · 𝐵))‘𝑥) = (𝐸 · 𝐵))
255250, 254sylan9eq 2705 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥) = (𝐸 · 𝐵))
256255itgeq2dv 23593 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 · 𝐵) d𝑥)
257249, 256syl5eq 2697 . . 3 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 · 𝐵) d𝑥)
25818, 9sseldi 3634 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁))
259 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐴𝐴𝑁)))
26044, 41, 259syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐴𝐴𝑁)))
261260adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐴𝐴𝑁)))
262258, 261mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐴𝐴𝑁))
263262simp2d 1094 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑀𝐴)
264263ditgpos 23665 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢 = ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)
265264mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢))
266265fveq1d 6231 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑌) = ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑌))
267 ubicc2 12327 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
26896, 97, 1, 267syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
269 itgsubst.l . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝐿)
270 ditgeq2 23658 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐿 → ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢)
271269, 270syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢)
272 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)
273 ditgex 23661 . . . . . . . 8 ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢 ∈ V
274271, 272, 273fvmpt 6321 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑌) = ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢)
275268, 274syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑌) = ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢)
276266, 275eqtr3d 2687 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑌) = ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢)
277265fveq1d 6231 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑋))
278 itgsubst.k . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝐾)
279 ditgeq2 23658 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐾 → ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢)
280278, 279syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢)
281 ditgex 23661 . . . . . . . 8 ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢 ∈ V
282280, 272, 281fvmpt 6321 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑋) = ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢)
28399, 282syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⨜[𝑀𝐴]𝐶 d𝑢)‘𝑋) = ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢)
284277, 283eqtr3d 2687 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑋) = ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢)
285276, 284oveq12d 6708 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑋)) = (⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢 − ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢))
286 lbicc2 12326 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
287108, 42, 114, 286syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
288258ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁))
289278eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
290289rspcv 3336 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
29199, 288, 290sylc 65 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀[,]𝑁))
292269eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
293292rspcv 3336 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐴 ∈ (𝑀[,]𝑁) → 𝐿 ∈ (𝑀[,]𝑁)))
294268, 288, 293sylc 65 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ (𝑀[,]𝑁))
29544, 41, 287, 291, 294, 60, 76ditgsplit 23670 . . . . 5 (𝜑 → ⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢 = (⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢 + ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢))
296295oveq1d 6705 . . . 4 (𝜑 → (⨜[𝑀𝐿]𝐶 d𝑢 − ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢) = ((⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢 + ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢) − ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢))
29744, 41, 287, 291, 60, 76ditgcl 23667 . . . . 5 (𝜑 → ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
29844, 41, 291, 294, 60, 76ditgcl 23667 . . . . 5 (𝜑 → ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢 ∈ ℂ)
299297, 298pncan2d 10432 . . . 4 (𝜑 → ((⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢 + ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢) − ⨜[𝑀𝐾]𝐶 d𝑢) = ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢)
300285, 296, 2993eqtrd 2689 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ∫(𝑀(,)𝐴)𝐶 d𝑢)‘𝑋)) = ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢)
301240, 257, 3003eqtr3d 2693 . 2 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 · 𝐵) d𝑥 = ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢)
3022, 301eqtr2d 2686 1 (𝜑 → ⨜[𝐾𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  csb 3566  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  cc 9972  cr 9973   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  abscabs 14018  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  intcnt 20869  cnccncf 22726  volcvol 23278  MblFncmbf 23428  𝐿1cibl 23431  citg 23432  cdit 23655   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-ditg 23656  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  itgsubst  23857
  Copyright terms: Public domain W3C validator