MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgss 23798
Description: Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss.1 (𝜑𝐴𝐵)
itgss.2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
itgss (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 12556 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
2 iffalse 4240 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
32ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
4 eldif 3726 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴))
5 itgss.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
65adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
76oveq1d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = (0 / (i↑𝑘)))
8 ax-icn 10208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i ∈ ℂ
9 ine0 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i ≠ 0
10 expclz 13100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
118, 9, 10mp3an12 1563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
12 expne0i 13107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
138, 9, 12mp3an12 1563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ≠ 0)
1411, 13div0d 11013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℤ → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
1514ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
167, 15eqtrd 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = 0)
1716fveq2d 6358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
18 re0 14112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℜ‘0) = 0
1917, 18syl6eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = 0)
2019ifeq1d 4249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0))
21 ifid 4270 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0, 0) = 0
2220, 21syl6eq 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
234, 22sylan2br 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
243, 23eqtr4d 2798 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
2524expr 644 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → (¬ 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
26 iftrue 4237 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
2725, 26pm2.61d2 172 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
28 iftrue 4237 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
2928adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
3027, 29eqtr4d 2798 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
31 itgss.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝐵)
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴𝐵)
3332sseld 3744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
3433con3dimp 456 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥𝐴)
3534, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
36 iffalse 4240 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
3736adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
3835, 37eqtr4d 2798 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
3930, 38pm2.61dan 867 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
40 ifan 4279 . . . . . . . 8 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
41 ifan 4279 . . . . . . . 8 if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
4239, 40, 413eqtr4g 2820 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
4342mpteq2dv 4898 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
4443fveq2d 6358 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
4544oveq2d 6831 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
461, 45sylan2 492 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
4746sumeq2dv 14653 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
48 eqid 2761 . . 3 (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
4948dfitg 23756 . 2 𝐴𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
5048dfitg 23756 . 2 𝐵𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
5147, 49, 503eqtr4g 2820 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐶 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  cdif 3713  wss 3716  ifcif 4231   class class class wbr 4805  cmpt 4882  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  ici 10151   · cmul 10154  cle 10288   / cdiv 10897  3c3 11284  cz 11590  ...cfz 12540  cexp 13075  cre 14057  Σcsu 14636  2citg2 23605  citg 23607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sum 14637  df-itg 23612
This theorem is referenced by:  itgss2  23799  areacirc  33837
  Copyright terms: Public domain W3C validator