Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsinexplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsinexplem1 40589
 Description: Integration by parts is applied to integrate sin^(N+1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexplem1.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
itgsinexplem1.2 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
itgsinexplem1.3 𝐻 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
itgsinexplem1.4 𝐼 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
itgsinexplem1.5 𝐿 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)))
itgsinexplem1.6 𝑀 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
itgsinexplem1.7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
itgsinexplem1 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem itgsinexplem1
StepHypRef Expression
1 0m0e0 11243 . . . . 5 (0 − 0) = 0
21oveq1i 6775 . . . 4 ((0 − 0) − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥) = (0 − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥)
3 0re 10153 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5 pire 24330 . . . . . 6 π ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → π ∈ ℝ)
7 pipos 24332 . . . . . . 7 0 < π
83, 5, 7ltleii 10273 . . . . . 6 0 ≤ π
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ π)
103, 5pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ)
11 iccssre 12369 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℝ
13 ax-resscn 10106 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
1412, 13sstri 3718 . . . . . . . . . . 11 (0[,]π) ⊆ ℂ
1514sseli 3705 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℂ)
1615adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1715sincld 14980 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
1817adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
19 itgsinexplem1.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2019nnnn0d 11464 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2120adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2218, 21expcld 13123 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
23 itgsinexplem1.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2423fvmpt2 6405 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2516, 22, 24syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝐹𝑥) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2625eqcomd 2730 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (𝐹𝑥))
2726mpteq2dva 4852 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐹𝑥)))
28 nfmpt1 4855 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
2923, 28nfcxfr 2864 . . . . . . 7 𝑥𝐹
30 nfcv 2866 . . . . . . . . 9 𝑥sin
31 sincn 24318 . . . . . . . . . 10 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3330, 32, 20expcnfg 40243 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3423, 33syl5eqel 2807 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3514a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
3629, 34, 35cncfmptss 40239 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
3727, 36eqeltrd 2803 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
3815coscld 14981 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3938negcld 10492 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
40 itgsinexplem1.2 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
4140fvmpt2 6405 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -(cos‘𝑥) ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = -(cos‘𝑥))
4215, 39, 41syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (𝐺𝑥) = -(cos‘𝑥))
4342eqcomd 2730 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) = (𝐺𝑥))
4443adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → -(cos‘𝑥) = (𝐺𝑥))
4544mpteq2dva 4852 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐺𝑥)))
46 nfmpt1 4855 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
4740, 46nfcxfr 2864 . . . . . . 7 𝑥𝐺
48 coscn 24319 . . . . . . . . 9 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5040negfcncf 22844 . . . . . . . 8 (cos ∈ (ℂ–cn→ℂ) → 𝐺 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5247, 51, 35cncfmptss 40239 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
5345, 52eqeltrd 2803 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
54 itgsinexplem1.3 . . . . . 6 𝐻 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
55 ssid 3730 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
5719nncnd 11149 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
5856, 57, 56constcncfg 40504 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑁) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
59 nnm1nn0 11447 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
6019, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
6130, 32, 60expcnfg 40243 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6258, 61mulcncf 23336 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
63 cosf 14975 . . . . . . . . . . 11 cos:ℂ⟶ℂ
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → cos:ℂ⟶ℂ)
6564feqmptd 6363 . . . . . . . . 9 (𝜑 → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
6665, 48syl6eqelr 2812 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6762, 66mulcncf 23336 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6854, 67syl5eqel 2807 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
69 ioosscn 40136 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ ℂ
7069a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ ℂ)
7157adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
7269sseli 3705 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
7372sincld 14980 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7473adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7560adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7674, 75expcld 13123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
7771, 76mulcld 10173 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
7872coscld 14981 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
7978adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
8077, 79mulcld 10173 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
8154, 68, 70, 56, 80cncfmptssg 40503 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
8230, 32, 70cncfmptss 40239 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
83 ioossicc 12373 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
8483a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
85 ioombl 23454 . . . . . . 7 (0(,)π) ∈ dom vol
8685a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
8722, 18mulcld 10173 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) ∈ ℂ)
88 itgsinexplem1.4 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
8988fvmpt2 6405 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) ∈ ℂ) → (𝐼𝑥) = (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
9016, 87, 89syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝐼𝑥) = (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
9190eqcomd 2730 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) = (𝐼𝑥))
9291mpteq2dva 4852 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐼𝑥)))
93 nfmpt1 4855 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)))
9488, 93nfcxfr 2864 . . . . . . . . 9 𝑥𝐼
95 sinf 14974 . . . . . . . . . . . . . 14 sin:ℂ⟶ℂ
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → sin:ℂ⟶ℂ)
9796feqmptd 6363 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
9897, 31syl6eqelr 2812 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9933, 98mulcncf 23336 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10088, 99syl5eqel 2807 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10194, 100, 35cncfmptss 40239 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐼𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
10292, 101eqeltrd 2803 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
103 cniccibl 23727 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
1044, 6, 102, 103syl3anc 1439 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
10584, 86, 87, 104iblss 23691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
10657adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
10760adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
10818, 107expcld 13123 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
109106, 108mulcld 10173 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
11038adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
111109, 110mulcld 10173 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
11239adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
113111, 112mulcld 10173 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
114 itgsinexplem1.5 . . . . . . . 8 𝐿 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)))
115 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
116115negfcncf 22844 . . . . . . . . . . 11 (cos ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11749, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11867, 117mulcncf 23336 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
119114, 118syl5eqel 2807 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
120114, 119, 35, 56, 113cncfmptssg 40503 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
121 cniccibl 23727 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
1224, 6, 120, 121syl3anc 1439 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
12384, 86, 113, 122iblss 23691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
124 reelprrecn 10141 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
125124a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
126 recn 10139 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
127126sincld 14980 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
128127adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
12920adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
130128, 129expcld 13123 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
13157adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
13260adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
133128, 132expcld 13123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
134131, 133mulcld 10173 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
135126coscld 14981 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
136135adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
137134, 136mulcld 10173 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
138 sincl 14976 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
139138adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
14020adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
141139, 140expcld 13123 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
142141, 23fmptd 6500 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
143126adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
144 elex 3316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V)
145137, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V)
146 rabid 3218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V))
147143, 145, 146sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V})
14854dmmpt 5743 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝐻 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) ∈ V}
149147, 148syl6eleqr 2814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ dom 𝐻)
150149ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ dom 𝐻))
151150alrimiv 1968 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ dom 𝐻))
152 nfcv 2866 . . . . . . . . . . 11 𝑥
153 nfmpt1 4855 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
15454, 153nfcxfr 2864 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐻
155154nfdm 5474 . . . . . . . . . . 11 𝑥dom 𝐻
156152, 155dfss2f 3700 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ dom 𝐻 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ dom 𝐻))
157151, 156sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ dom 𝐻)
15819dvsinexp 40545 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
15923oveq2i 6776 . . . . . . . . . . 11 (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
160158, 159, 543eqtr4g 2783 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = 𝐻)
161160dmeqd 5433 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = dom 𝐻)
162157, 161sseqtr4d 3748 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
163 dvres3 23797 . . . . . . . 8 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))
164125, 142, 56, 162, 163syl22anc 1440 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))
16523reseq1i 5499 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ↾ ℝ)
166 resmpt 5559 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
16713, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
168165, 167eqtri 2746 . . . . . . . . 9 (𝐹 ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
169168oveq2i 6776 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
170169a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))))
171160reseq1d 5502 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) = (𝐻 ↾ ℝ))
17254reseq1i 5499 . . . . . . . . 9 (𝐻 ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ↾ ℝ)
173 resmpt 5559 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
17413, 173ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
175172, 174eqtri 2746 . . . . . . . 8 (𝐻 ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)))
176171, 175syl6eq 2774 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
177164, 170, 1763eqtr3d 2766 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
17812a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℝ)
179 eqid 2724 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
180179tgioo2 22728 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
18110a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ))
182 iccntr 22746 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
183181, 182syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
184125, 130, 137, 177, 178, 180, 179, 183dvmptres2 23845 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))
185135negcld 10492 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
186185adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
187127negcld 10492 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
188187adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
189 dvcosre 40546 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
190189a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥)))
191125, 136, 188, 190dvmptneg 23849 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)))
192127negnegd 10496 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
193192adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
194193mpteq2dva 4852 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥)))
195191, 194eqtrd 2758 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥)))
196125, 186, 128, 195, 178, 180, 179, 183dvmptres2 23845 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)))
197 fveq2 6304 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (sin‘𝑥) = (sin‘0))
198 sin0 14999 . . . . . . . . . . 11 (sin‘0) = 0
199197, 198syl6eq 2774 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (sin‘𝑥) = 0)
200199oveq1d 6780 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
201200adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 0) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
20219adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
2032020expd 13139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 0) → (0↑𝑁) = 0)
204201, 203eqtrd 2758 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 0) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = 0)
205204oveq1d 6780 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 0) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = (0 · -(cos‘𝑥)))
206 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
207 0cn 10145 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
208206, 207syl6eqel 2811 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
209 coscl 14977 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
210209negcld 10492 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
211208, 210syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
212211adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 0) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
213212mul02d 10347 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 0) → (0 · -(cos‘𝑥)) = 0)
214205, 213eqtrd 2758 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 0) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = 0)
215 fveq2 6304 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = π → (sin‘𝑥) = (sin‘π))
216 sinpi 24329 . . . . . . . . . . 11 (sin‘π) = 0
217215, 216syl6eq 2774 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = π → (sin‘𝑥) = 0)
218217oveq1d 6780 . . . . . . . . 9 (𝑥 = π → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
219218adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = π) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
22019adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = π) → 𝑁 ∈ ℕ)
2212200expd 13139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = π) → (0↑𝑁) = 0)
222219, 221eqtrd 2758 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = π) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = 0)
223222oveq1d 6780 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = π) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = (0 · -(cos‘𝑥)))
224 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = π → 𝑥 = π)
225 picn 24331 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
226224, 225syl6eqel 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = π → 𝑥 ∈ ℂ)
227226coscld 14981 . . . . . . . . 9 (𝑥 = π → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
228227negcld 10492 . . . . . . . 8 (𝑥 = π → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
229228adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = π) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
230229mul02d 10347 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = π) → (0 · -(cos‘𝑥)) = 0)
231223, 230eqtrd 2758 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = π) → (((sin‘𝑥)↑𝑁) · -(cos‘𝑥)) = 0)
2324, 6, 9, 37, 53, 81, 82, 105, 123, 184, 196, 214, 231itgparts 23930 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥))
233 df-neg 10382 . . . . 5 -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = (0 − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥)
234233a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = (0 − ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥))
2352, 232, 2343eqtr4a 2784 . . 3 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥)
23677, 79, 79mulassd 10176 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)) = ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
237 sqval 13037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((cos‘𝑥) ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
238237eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 ((cos‘𝑥) ∈ ℂ → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) = ((cos‘𝑥)↑2))
23978, 238syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) = ((cos‘𝑥)↑2))
240239adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) = ((cos‘𝑥)↑2))
241240oveq2d 6781 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥)↑2)))
24278sqcld 13121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
243242adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
24471, 76, 243mulassd 10176 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥)↑2)) = (𝑁 · (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2))))
245241, 244eqtrd 2758 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = (𝑁 · (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2))))
24676, 243mulcomd 10174 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2)) = (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
247246oveq2d 6781 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · ((cos‘𝑥)↑2))) = (𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
248236, 245, 2473eqtrd 2762 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)) = (𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
249248negeqd 10388 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → -(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)) = -(𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
25080, 79mulneg2d 10597 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) = -(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · (cos‘𝑥)))
251243, 76mulcld 10173 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25271, 251mulneg1d 10596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) = -(𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
253249, 250, 2523eqtr4d 2768 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) = (-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
254253itgeq2dv 23668 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = ∫(0(,)π)(-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) d𝑥)
25557negcld 10492 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℂ)
25638sqcld 13121 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
257256adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
258257, 108mulcld 10173 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
259 itgsinexplem1.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
260259fvmpt2 6405 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ) → (𝑀𝑥) = (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
26116, 258, 260syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑀𝑥) = (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
262261eqcomd 2730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑀𝑥))
263262mpteq2dva 4852 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑀𝑥)))
264 nfmpt1 4855 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
265259, 264nfcxfr 2864 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑀
266 nfcv 2866 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥cos
267 2nn0 11422 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
268267a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
269266, 49, 268expcnfg 40243 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((cos‘𝑥)↑2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
270269, 61mulcncf 23336 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
271259, 270syl5eqel 2807 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
272265, 271, 35cncfmptss 40239 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑀𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
273263, 272eqeltrd 2803 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
274 cniccibl 23727 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ 𝐿1)
2754, 6, 273, 274syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ 𝐿1)
27684, 86, 258, 275iblss 23691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ∈ 𝐿1)
277255, 251, 276itgmulc2 23720 . . . . 5 (𝜑 → (-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = ∫(0(,)π)(-𝑁 · (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))) d𝑥)
278254, 277eqtr4d 2761 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = (-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
279278negeqd 10388 . . 3 (𝜑 → -∫(0(,)π)(((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)) d𝑥 = -(-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
280235, 279eqtrd 2758 . 2 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = -(-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
281251, 276itgcl 23670 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 ∈ ℂ)
28257, 281mulneg1d 10596 . . 3 (𝜑 → (-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = -(𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
283282negeqd 10388 . 2 (𝜑 → -(-𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = --(𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
28457, 281mulcld 10173 . . 3 (𝜑 → (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) ∈ ℂ)
285284negnegd 10496 . 2 (𝜑 → --(𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥) = (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
286280, 283, 2853eqtrd 2762 1 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑𝑁) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = (𝑁 · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∀wal 1594   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  {crab 3018  Vcvv 3304   ⊆ wss 3680  {cpr 4287   class class class wbr 4760   ↦ cmpt 4837  dom cdm 5218  ran crn 5219   ↾ cres 5220  ⟶wf 5997  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  ℂcc 10047  ℝcr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   · cmul 10054   ≤ cle 10188   − cmin 10379  -cneg 10380  ℕcn 11133  2c2 11183  ℕ0cn0 11405  (,)cioo 12289  [,]cicc 12292  ↑cexp 12975  sincsin 14914  cosccos 14915  πcpi 14917  TopOpenctopn 16205  topGenctg 16221  ℂfldccnfld 19869  intcnt 20944  –cn→ccncf 22801  volcvol 23353  𝐿1cibl 23506  ∫citg 23507   D cdv 23747 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cc 9370  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-disj 4729  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-ofr 7015  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-cmp 21313  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-ovol 23354  df-vol 23355  df-mbf 23508  df-itg1 23509  df-itg2 23510  df-ibl 23511  df-itg 23512  df-0p 23557  df-limc 23750  df-dv 23751 This theorem is referenced by:  itgsinexp  40590
 Copyright terms: Public domain W3C validator