Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsin0pilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsin0pilem1 40483
Description: Calculation of the integral for sine on the (0,π) interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
itgsin0pilem1.1 𝐶 = (𝑡 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑡))
Assertion
Ref Expression
itgsin0pilem1 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = 2
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑡)

Proof of Theorem itgsin0pilem1
StepHypRef Expression
1 itgsin0pilem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝑡 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑡))
2 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑥 → (cos‘𝑡) = (cos‘𝑥))
32negeqd 10313 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑥 → -(cos‘𝑡) = -(cos‘𝑥))
43cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑡)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))
51, 4eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 𝐶 = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))
65oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 (ℝ D 𝐶) = (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)))
7 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
9 0re 10078 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
10 pire 24255 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
11 iccssre 12293 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
129, 10, 11mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1412, 7sstri 3645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]π) ⊆ ℂ
1514sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℂ)
1615coscld 14905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
1817negcld 10417 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
19 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2019tgioo2 22653 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
21 iccntr 22671 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
229, 10, 21mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
248, 13, 18, 20, 19, 23dvmptntr 23779 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥))))
2524trud 1533 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥)))
26 reelprrecn 10066 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
28 recn 10064 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2928coscld 14905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3130negcld 10417 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3228sincld 14904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3332adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3432negcld 10417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
36 dvcosre 40444 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥)))
3827, 30, 35, 37dvmptneg 23774 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)))
3932negnegd 10421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
4039mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥))
4138, 40syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥)))
42 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)π) ⊆ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℝ)
44 iooretop 22616 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)))
4627, 31, 33, 41, 43, 20, 19, 45dvmptres 23771 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)))
4746trud 1533 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))
486, 25, 473eqtri 2677 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐶) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))
4948fveq1i 6230 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))‘𝑥)
5042, 7sstri 3645 . . . . . . . . . 10 (0(,)π) ⊆ ℂ
5150sseli 3632 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
5251sincld 14904 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
53 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))
5453fvmpt2 6330 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ (sin‘𝑥) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5552, 54mpdan 703 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5649, 55syl5eq 2697 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((ℝ D 𝐶)‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5756adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((ℝ D 𝐶)‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5857itgeq2dv 23593 . . . 4 (⊤ → ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥)
5958trud 1533 . . 3 ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥
609a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6110a1i 11 . . . . 5 (⊤ → π ∈ ℝ)
62 pipos 24257 . . . . . . 7 0 < π
639, 10, 62ltleii 10198 . . . . . 6 0 ≤ π
6463a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 ≤ π)
65 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑥sin
66 sincn 24243 . . . . . . . 8 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
6766a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6850a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℂ)
6965, 67, 68cncfmptss 40137 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
7048, 69syl5eqel 2734 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D 𝐶) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
71 ioossicc 12297 . . . . . . . 8 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
7271a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
73 ioombl 23379 . . . . . . . 8 (0(,)π) ∈ dom vol
7473a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (0(,)π) ∈ dom vol)
7515sincld 14904 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7675adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7714a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0[,]π) ⊆ ℂ)
7865, 67, 77cncfmptss 40137 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
7978trud 1533 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
80 cniccibl 23652 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
819, 10, 79, 80mp3an 1464 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1
8281a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
8372, 74, 76, 82iblss 23616 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
8448, 83syl5eqel 2734 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D 𝐶) ∈ 𝐿1)
8516negcld 10417 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
86 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
8786fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -(cos‘𝑥) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥) = -(cos‘𝑥))
8815, 85, 87syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥) = -(cos‘𝑥))
8988eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥))
9089mpteq2ia 4773 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥))
91 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
92 coscn 24244 . . . . . . . . . . . 12 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
9386negfcncf 22769 . . . . . . . . . . . 12 (cos ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9691, 95, 77cncfmptss 40137 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
9796trud 1533 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
9890, 97eqeltri 2726 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
995, 98eqeltri 2726 . . . . . 6 𝐶 ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
10099a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐶 ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
10160, 61, 64, 70, 84, 100ftc2 23852 . . . 4 (⊤ → ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ((𝐶‘π) − (𝐶‘0)))
102101trud 1533 . . 3 ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ((𝐶‘π) − (𝐶‘0))
10359, 102eqtr3i 2675 . 2 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = ((𝐶‘π) − (𝐶‘0))
104 0xr 10124 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
10510rexri 10135 . . . . 5 π ∈ ℝ*
106 ubicc2 12327 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → π ∈ (0[,]π))
107104, 105, 63, 106mp3an 1464 . . . 4 π ∈ (0[,]π)
108 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑡 = π → (cos‘𝑡) = (cos‘π))
109 cospi 24269 . . . . . . . 8 (cos‘π) = -1
110108, 109syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝑡 = π → (cos‘𝑡) = -1)
111110negeqd 10313 . . . . . 6 (𝑡 = π → -(cos‘𝑡) = --1)
112 ax-1cn 10032 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
113112a1i 11 . . . . . . 7 (𝑡 = π → 1 ∈ ℂ)
114113negnegd 10421 . . . . . 6 (𝑡 = π → --1 = 1)
115111, 114eqtrd 2685 . . . . 5 (𝑡 = π → -(cos‘𝑡) = 1)
116 1ex 10073 . . . . 5 1 ∈ V
117115, 1, 116fvmpt 6321 . . . 4 (π ∈ (0[,]π) → (𝐶‘π) = 1)
118107, 117ax-mp 5 . . 3 (𝐶‘π) = 1
119 lbicc2 12326 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
120104, 105, 63, 119mp3an 1464 . . . . 5 0 ∈ (0[,]π)
121 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑡 = 0 → (cos‘𝑡) = (cos‘0))
122121negeqd 10313 . . . . . 6 (𝑡 = 0 → -(cos‘𝑡) = -(cos‘0))
123 negex 10317 . . . . . 6 -(cos‘0) ∈ V
124122, 1, 123fvmpt 6321 . . . . 5 (0 ∈ (0[,]π) → (𝐶‘0) = -(cos‘0))
125120, 124ax-mp 5 . . . 4 (𝐶‘0) = -(cos‘0)
126 cos0 14924 . . . . 5 (cos‘0) = 1
127126negeqi 10312 . . . 4 -(cos‘0) = -1
128125, 127eqtri 2673 . . 3 (𝐶‘0) = -1
129118, 128oveq12i 6702 . 2 ((𝐶‘π) − (𝐶‘0)) = (1 − -1)
130112, 112subnegi 10398 . . 3 (1 − -1) = (1 + 1)
131 1p1e2 11172 . . 3 (1 + 1) = 2
132130, 131eqtri 2673 . 2 (1 − -1) = 2
133103, 129, 1323eqtri 2677 1 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1523  wtru 1524  wcel 2030  wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  *cxr 10111  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305  2c2 11108  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  sincsin 14838  cosccos 14839  πcpi 14841  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  intcnt 20869  cnccncf 22726  volcvol 23278  𝐿1cibl 23431  citg 23432   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  itgsin0pi  40485
  Copyright terms: Public domain W3C validator