Users' Mathboxes Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgpowd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgpowd 38117
Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgpowd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgpowd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgpowd.3 (𝜑𝐴𝐵)
itgpowd.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
itgpowd (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgpowd
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgpowd.4 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0p1nn 11370 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
43nncnd 11074 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5 itgpowd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 itgpowd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 iccssre 12293 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
85, 6, 7syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9 ax-resscn 10031 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
108, 9syl6ss 3648 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
1110sselda 3636 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
121adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1311, 12expcld 13048 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
1410resmptd 5487 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)))
15 expcncf 22772 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17 rescncf 22747 . . . . . 6 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
1810, 16, 17sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1914, 18eqeltrrd 2731 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
20 cniccibl 23652 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ 𝐿1)
215, 6, 19, 20syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ 𝐿1)
2213, 21itgcl 23595 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥 ∈ ℂ)
233nnne0d 11103 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
244, 13, 21itgmulc2 23645 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥) = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥)
25 eqidd 2652 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
26 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑥 → (𝑡𝑁) = (𝑥𝑁))
2726oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑥 → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)))
2827adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑥) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)))
29 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
304adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31 ioossicc 12297 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3332sselda 3636 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3433, 13syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
3530, 34mulcld 10098 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) ∈ ℂ)
3625, 28, 29, 35fvmptd 6327 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) = ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)))
3736itgeq2dv 23593 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥)
38 itgpowd.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
39 reelprrecn 10066 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
419a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4241sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
43 1nn0 11346 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
451, 44nn0addcld 11393 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4742, 46expcld 13048 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
481nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4948adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50 1cnd 10094 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
5149, 50addcld 10097 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
521adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5342, 52expcld 13048 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡𝑁) ∈ ℂ)
5451, 53mulcld 10098 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) ∈ ℂ)
55 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
5645adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5755, 56expcld 13048 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
58 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))
5957, 58fmptd 6425 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ)
60 ssid 3657 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
6160a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
624adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
631adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6455, 63expcld 13048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡𝑁) ∈ ℂ)
6562, 64mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) ∈ ℂ)
66 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))
6765, 66fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))):ℂ⟶ℂ)
68 dvexp 23761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
693, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
70 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7148, 70pncand 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7271oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑡𝑁))
7372oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1))) = ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))
7473mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
7569, 74eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
7675feq1d 6068 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ ↔ (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))):ℂ⟶ℂ))
7767, 76mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ)
78 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ → dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = ℂ)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = ℂ)
809, 79syl5sseqr 3687 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
81 dvres3 23722 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))) → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
8240, 59, 61, 80, 81syl22anc 1367 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
8375reseq1d 5427 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ))
8482, 83eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ))
85 resmpt 5484 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
869, 85mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
8786oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
88 resmpt 5484 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
899, 88mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
9084, 87, 893eqtr3d 2693 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
91 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9291tgioo2 22653 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
93 iccntr 22671 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
945, 6, 93syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
9540, 47, 54, 90, 8, 92, 91, 94dvmptres2 23770 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
96 ioossre 12273 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
9796, 9sstri 3645 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
9897a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
99 cncfmptc 22761 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
1004, 98, 61, 99syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
101 resmpt 5484 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑁)))
10297, 101mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑁)))
103 expcncf 22772 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1041, 103syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
105 rescncf 22747 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
10698, 104, 105sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
107102, 106eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑁)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
108100, 107mulcncf 23261 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10995, 108eqeltrd 2730 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
110 ioombl 23379 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
111110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
11248adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
113 1cnd 10094 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
114112, 113addcld 10097 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
11510sselda 3636 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℂ)
1161adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
117115, 116expcld 13048 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝑁) ∈ ℂ)
118114, 117mulcld 10098 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) ∈ ℂ)
119 cncfmptc 22761 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1204, 10, 61, 119syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
12110resmptd 5487 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑁)))
122 rescncf 22747 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
12310, 104, 122sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
124121, 123eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
125120, 124mulcncf 23261 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
126 cniccibl 23652 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ 𝐿1)
1275, 6, 125, 126syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ 𝐿1)
12832, 111, 118, 127iblss 23616 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ 𝐿1)
12995, 128eqeltrd 2730 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ 𝐿1)
13010resmptd 5487 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
131 expcncf 22772 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
13245, 131syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
133 rescncf 22747 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
13410, 132, 133sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
135130, 134eqeltrrd 2731 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1365, 6, 38, 109, 129, 135ftc2 23852 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)))
13795fveq1d 6231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥))
138137ralrimivw 2996 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥))
139 itgeq2 23589 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
140138, 139syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
141 eqidd 2652 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
142 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 𝐵) → 𝑡 = 𝐵)
143142oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 𝐵) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
1445rexrd 10127 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1456rexrd 10127 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
146 ubicc2 12327 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
147144, 145, 38, 146syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1486recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
149148, 45expcld 13048 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
150141, 143, 147, 149fvmptd 6327 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
151 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 𝐴) → 𝑡 = 𝐴)
152151oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 𝐴) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
153 lbicc2 12326 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
154144, 145, 38, 153syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1555recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
156155, 45expcld 13048 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
157141, 152, 154, 156fvmptd 6327 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
158150, 157oveq12d 6708 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
159136, 140, 1583eqtr3d 2693 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
1604adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
161160, 13mulcld 10098 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) ∈ ℂ)
1625, 6, 161itgioo 23627 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥)
16337, 159, 1623eqtr3rd 2694 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
16424, 163eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
1654, 22, 23, 164mvllmuld 10895 1 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  0cn0 11330  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  cexp 12900  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  intcnt 20869  cnccncf 22726  volcvol 23278  𝐿1cibl 23431  citg 23432   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  areaquad  38119
  Copyright terms: Public domain W3C validator