MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgparts Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgparts 23855
Description: Integration by parts. If 𝐵(𝑥) is the derivative of 𝐴(𝑥) and 𝐷(𝑥) is the derivative of 𝐶(𝑥), and 𝐸 = (𝐴 · 𝐵)(𝑋) and 𝐹 = (𝐴 · 𝐵)(𝑌), then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of 𝐴 · 𝐷 from 𝑋 to 𝑌 is equal to 𝐹𝐸 minus the integral of 𝐵 · 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgparts.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
itgparts.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
itgparts.le (𝜑𝑋𝑌)
itgparts.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.c (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.b (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.d (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
itgparts.ad (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐷)) ∈ 𝐿1)
itgparts.bc (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ 𝐿1)
itgparts.da (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
itgparts.dc (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷))
itgparts.e ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐸)
itgparts.f ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
itgparts (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥 = ((𝐹𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgparts
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgparts.b . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
2 cncff 22743 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
4 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵)
54fmpt 6421 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
63, 5sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝐵 ∈ ℂ)
76r19.21bi 2961 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8 ioossicc 12297 . . . . . . 7 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
98sseli 3632 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌))
10 itgparts.c . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
11 cncff 22743 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
13 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶)
1413fmpt 6421 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
1512, 14sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐶 ∈ ℂ)
1615r19.21bi 2961 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐶 ∈ ℂ)
179, 16sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶 ∈ ℂ)
187, 17mulcld 10098 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
19 itgparts.bc . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ 𝐿1)
2018, 19itgcl 23595 . . 3 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
21 itgparts.a . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
22 cncff 22743 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
24 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)
2524fmpt 6421 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
2623, 25sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝐴 ∈ ℂ)
2726r19.21bi 2961 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
289, 27sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29 itgparts.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
30 cncff 22743 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
32 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷)
3332fmpt 6421 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝐷 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
3431, 33sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)𝐷 ∈ ℂ)
3534r19.21bi 2961 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
3628, 35mulcld 10098 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
37 itgparts.ad . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐷)) ∈ 𝐿1)
3836, 37itgcl 23595 . . 3 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥 ∈ ℂ)
3920, 38pncan2d 10432 . 2 (𝜑 → ((∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥)
4018, 19, 36, 37itgadd 23636 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) d𝑥 = (∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥))
41 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑡 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡))
42 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑡((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥)
43 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑥
44 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑥 D
45 nfmpt1 4780 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))
4643, 44, 45nfov 6716 . . . . . . . 8 𝑥(ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))
47 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑥𝑡
4846, 47nffv 6236 . . . . . . 7 𝑥((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡)
4941, 42, 48cbvitg 23587 . . . . . 6 ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡) d𝑡
50 itgparts.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
51 itgparts.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
52 itgparts.le . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑌)
53 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
55 iccssre 12293 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
5650, 51, 55syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
5727, 16mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
58 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5958tgioo2 22653 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
60 iccntr 22671 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
6150, 51, 60syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋[,]𝑌)) = (𝑋(,)𝑌))
6254, 56, 57, 59, 58, 61dvmptntr 23779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))))
63 reelprrecn 10066 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6554, 56, 27, 59, 58, 61dvmptntr 23779 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)))
66 itgparts.da . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
6765, 66eqtr3d 2687 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
6854, 56, 16, 59, 58, 61dvmptntr 23779 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶)) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶)))
69 itgparts.dc . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷))
7068, 69eqtr3d 2687 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷))
7164, 28, 7, 67, 17, 35, 70dvmptmul 23769 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))))
7235, 28mulcomd 10099 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐷 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐷))
7372oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
7473mpteq2dva 4777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))))
7562, 71, 743eqtrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))))
7658addcn 22715 . . . . . . . . . 10 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
7776a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
78 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶))
798, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶)
80 rescncf 22747 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
818, 10, 80mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐶) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
8279, 81syl5eqelr 2735 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐶) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
831, 82mulcncf 23261 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
84 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴))
858, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴)
86 rescncf 22747 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
878, 21, 86mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
8885, 87syl5eqelr 2735 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
8988, 29mulcncf 23261 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐷)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
9058, 77, 83, 89cncfmpt2f 22764 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
9175, 90eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
9218, 19, 36, 37ibladd 23632 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))) ∈ 𝐿1)
9375, 92eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))) ∈ 𝐿1)
9421, 10mulcncf 23261 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
9550, 51, 52, 91, 93, 94ftc2 23852 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋)))
9649, 95syl5eq 2697 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋)))
9775fveq1d 6231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥))
9897adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥))
99 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
100 ovex 6718 . . . . . . . 8 ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ V
101 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
102101fvmpt2 6330 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ∧ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
10399, 100, 102sylancl 695 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))‘𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
10498, 103eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
105104itgeq2dv 23593 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) d𝑥)
10650rexrd 10127 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
10751rexrd 10127 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
108 ubicc2 12327 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
109106, 107, 52, 108syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
110 ovex 6718 . . . . . . . . 9 (𝐴 · 𝐶) ∈ V
111110csbex 4826 . . . . . . . 8 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V
112 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))
113112fvmpts 6324 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) = 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
114109, 111, 113sylancl 695 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) = 𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
115 itgparts.f . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐹)
11651, 115csbied 3593 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) = 𝐹)
117114, 116eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) = 𝐹)
118 lbicc2 12326 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
119106, 107, 52, 118syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
120110csbex 4826 . . . . . . . 8 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V
121112fvmpts 6324 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋) = 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
122119, 120, 121sylancl 695 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋) = 𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶))
123 itgparts.e . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) = 𝐸)
12450, 123csbied 3593 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 / 𝑥(𝐴 · 𝐶) = 𝐸)
125122, 124eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋) = 𝐸)
126117, 125oveq12d 6708 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑌) − ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝐴 · 𝐶))‘𝑋)) = (𝐹𝐸))
12796, 105, 1263eqtr3d 2693 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) d𝑥 = (𝐹𝐸))
12840, 127eqtr3d 2687 . . 3 (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥) = (𝐹𝐸))
129128oveq1d 6705 . 2 (𝜑 → ((∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥) = ((𝐹𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥))
13039, 129eqtr3d 2687 1 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐴 · 𝐷) d𝑥 = ((𝐹𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐵 · 𝐶) d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  csb 3566  wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111  cle 10113  cmin 10304  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  intcnt 20869   Cn ccn 21076   ×t ctx 21411  cnccncf 22726  𝐿1cibl 23431  citg 23432   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  itgsinexplem1  40487  fourierdlem39  40681
  Copyright terms: Public domain W3C validator