Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgioocnicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgioocnicc 40688
Description: The integral of a piecewise continuous function 𝐹 on an open interval is equal to the integral of the continuous function 𝐺, in the corresponding closed interval. 𝐺 is equal to 𝐹 on the open interval, but it is continuous at the two boundaries, also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgioocnicc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgioocnicc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgioocnicc.f (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
itgioocnicc.fcn (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
itgioocnicc.fdom (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹)
itgioocnicc.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴))
itgioocnicc.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵))
itgioocnicc.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
Assertion
Ref Expression
itgioocnicc (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem itgioocnicc
StepHypRef Expression
1 itgioocnicc.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 itgioocnicc.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 itgioocnicc.g . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
4 iftrue 4228 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
5 iftrue 4228 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝑅)
64, 5eqtr4d 2789 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
76adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
8 iftrue 4228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
9 iftrue 4228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = 𝐿)
108, 9eqtr4d 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
1110adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
1211ifeq2d 4241 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
1312adantll 752 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
14 iffalse 4231 . . . . . . . . . 10 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
1514ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
16 iffalse 4231 . . . . . . . . . 10 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
1716adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
18 iffalse 4231 . . . . . . . . . . 11 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
1918ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
20 iffalse 4231 . . . . . . . . . . 11 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
2120adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
221adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2322rexrd 10273 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2423ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
252rexrd 10273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2625ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
272adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
28 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29 eliccre 40223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3022, 27, 28, 29syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3130ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
321ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3330adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3425adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
35 iccgelb 12415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
3623, 34, 28, 35syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑥)
38 neqne 2932 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = 𝐴𝑥𝐴)
3938adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝐴)
4032, 33, 37, 39leneltd 10375 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 < 𝑥)
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
4230adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
432ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
44 iccleub 12414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
4523, 34, 28, 44syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝐵)
47 eqcom 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝐵𝐵 = 𝑥)
4847notbii 309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 = 𝑥)
4948biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝑥)
5049neqned 2931 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = 𝐵𝐵𝑥)
5150adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑥)
5242, 43, 46, 51leneltd 10375 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
5352adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
5424, 26, 31, 41, 53eliood 40215 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
55 fvres 6360 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
5719, 21, 563eqtrrd 2791 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
5815, 17, 573eqtrd 2790 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
5913, 58pm2.61dan 867 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
607, 59pm2.61dan 867 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
6160mpteq2dva 4888 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))))
623, 61syl5eq 2798 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))))
63 nfv 1984 . . . . 5 𝑥𝜑
64 eqid 2752 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
65 itgioocnicc.fcn . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
66 itgioocnicc.l . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵))
67 itgioocnicc.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴))
6863, 64, 1, 2, 65, 66, 67cncfiooicc 40602 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
6962, 68eqeltrd 2831 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
70 cniccibl 23798 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
711, 2, 69, 70syl3anc 1473 . 2 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
724adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
73 limccl 23830 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴) ⊆ ℂ
7473, 67sseldi 3734 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
7574ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
7672, 75eqeltrd 2831 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
7714, 8sylan9eq 2806 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
7877adantll 752 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
79 limccl 23830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
8079, 66sseldi 3734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
8180ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐿 ∈ ℂ)
8278, 81eqeltrd 2831 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
8314, 16sylan9eq 2806 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑥 = 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
8483adantll 752 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
8556eqcomd 2758 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹𝑥) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
86 cncff 22889 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
8765, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
8887ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
8988, 54ffvelrnd 6515 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) ∈ ℂ)
9085, 89eqeltrd 2831 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
9184, 90eqeltrd 2831 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
9282, 91pm2.61dan 867 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
9376, 92pm2.61dan 867 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
943fvmpt2 6445 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
9528, 93, 94syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
9695, 93eqeltrd 2831 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
971, 2, 96itgioo 23773 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥)
9897eqcomd 2758 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥)
99 ioossicc 12444 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
10099sseli 3732 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
101100, 95sylan2 492 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
1021adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
103 eliooord 12418 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
104103simpld 477 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
105104adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
106102, 105gtned 10356 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐴)
107106neneqd 2929 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
108107, 14syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
109100, 30sylan2 492 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
110103simprd 482 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
111110adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
112109, 111ltned 10357 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐵)
113112neneqd 2929 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
114113, 16syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
115101, 108, 1143eqtrd 2790 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) = (𝐹𝑥))
116115itgeq2dv 23739 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
117 itgioocnicc.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
118117adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
119 itgioocnicc.fdom . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ dom 𝐹)
120119sselda 3736 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
121118, 120ffvelrnd 6515 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
1221, 2, 121itgioo 23773 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
12398, 116, 1223eqtrd 2790 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
12471, 123jca 555 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wss 3707  ifcif 4222   class class class wbr 4796  cmpt 4873  dom cdm 5258  cres 5260  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259  (,)cioo 12360  [,]cicc 12363  cnccncf 22872  𝐿1cibl 23577  citg 23578   lim climc 23817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cc 9441  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-disj 4765  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-ofr 7055  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-omul 7726  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-acn 8950  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-cmp 21384  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-ovol 23425  df-vol 23426  df-mbf 23579  df-itg1 23580  df-itg2 23581  df-ibl 23582  df-itg 23583  df-0p 23628  df-limc 23821
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  40899
  Copyright terms: Public domain W3C validator