Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itggt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itggt0 23834
 Description: The integral of a strictly positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itggt0.1 (𝜑 → 0 < (vol‘𝐴))
itggt0.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itggt0.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itggt0 (𝜑 → 0 < ∫𝐴𝐵 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itggt0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itggt0.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 23760 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 itggt0.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
53, 4mbfdm2 23631 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
6 itggt0.1 . . 3 (𝜑 → 0 < (vol‘𝐴))
74rpred 12074 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
84rpge0d 12078 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
9 elrege0 12484 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
107, 8, 9sylanbrc 698 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
11 0e0icopnf 12488 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,)+∞)
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
1310, 12ifclda 4256 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
1413adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
15 eqid 2769 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
1614, 15fmptd 6526 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
17 mblss 23525 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
185, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
19 rembl 23534 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
2113adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
22 eldifn 3881 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
2322adantl 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
2423iffalsed 4233 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 0)
25 iftrue 4228 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
2625mpteq2ia 4871 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥𝐴𝐵)
2726, 3syl5eqel 2852 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
2818, 20, 21, 24, 27mbfss 23639 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
294rpgt0d 12077 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 < 𝐵)
3018sselda 3749 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3125adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
3231, 4eqeltrd 2848 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ+)
3315fvmpt2 6432 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
3430, 32, 33syl2anc 693 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
3534, 31eqtrd 2803 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥) = 𝐵)
3629, 35breqtrrd 4811 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥))
3736ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥))
38 nfcv 2911 . . . . . . 7 𝑥0
39 nfcv 2911 . . . . . . 7 𝑥 <
40 nffvmpt1 6339 . . . . . . 7 𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑦)
4138, 39, 40nfbr 4830 . . . . . 6 𝑥0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑦)
42 nfv 1993 . . . . . 6 𝑦0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥)
43 fveq2 6331 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥))
4443breq2d 4795 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑦) ↔ 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥)))
4541, 42, 44cbvral 3314 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑥))
4637, 45sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑦))
4746r19.21bi 3079 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → 0 < ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))‘𝑦))
485, 6, 16, 28, 47itg2gt0 23753 . 2 (𝜑 → 0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
497, 1, 8itgposval 23788 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
5048, 49breqtrrd 4811 1 (𝜑 → 0 < ∫𝐴𝐵 d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1629   ∈ wcel 2143  ∀wral 3059   ∖ cdif 3717   ⊆ wss 3720  ifcif 4222   class class class wbr 4783   ↦ cmpt 4860  dom cdm 5248  ‘cfv 6030  (class class class)co 6791  ℝcr 10135  0cc0 10136  +∞cpnf 10271   < clt 10274   ≤ cle 10275  ℝ+crp 12034  [,)cico 12381  volcvol 23457  MblFncmbf 23608  ∫2citg2 23610  𝐿1cibl 23611  ∫citg 23612 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cc 9457  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-fal 1635  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-disj 4752  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-se 5208  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-ofr 7043  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13325  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-sqrt 14186  df-abs 14187  df-clim 14430  df-rlim 14431  df-sum 14628  df-rest 16297  df-topgen 16318  df-psmet 19959  df-xmet 19960  df-met 19961  df-bl 19962  df-mopn 19963  df-top 20925  df-topon 20942  df-bases 20977  df-cmp 21417  df-cncf 22907  df-ovol 23458  df-vol 23459  df-mbf 23613  df-itg1 23614  df-itg2 23615  df-ibl 23616  df-itg 23617  df-0p 23663 This theorem is referenced by:  ftc1lem4  24028  fdvposlt  31018
 Copyright terms: Public domain W3C validator