MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgeq2dv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgeq2dv 23767
Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
itgeq2dv.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
itgeq2dv (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv
StepHypRef Expression
1 itgeq2dv.1 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
21ralrimiva 3104 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 = 𝐶)
3 itgeq2 23763 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
42, 3syl 17 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  citg 23606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-seq 13016  df-sum 14636  df-itg 23611
This theorem is referenced by:  itgmpt  23768  itgneg  23789  itgss2  23798  itgconst  23804  itgaddlem2  23809  itgadd  23810  itgsub  23811  itgfsum  23812  itgmulc2lem2  23818  itgmulc2  23819  itgabs  23820  ftc1lem4  24021  ftc2ditglem  24027  itgparts  24029  itgsubstlem  24030  itgsubst  24031  itgulm  24381  itgulm2  24382  areaval  24911  circlemeth  31048  circlemethnat  31049  circlevma  31050  circlemethhgt  31051  hgt749d  31057  itgaddnclem2  33800  itgaddnc  33801  itgsubnc  33803  itgmulc2nclem2  33808  itgmulc2nc  33809  itgabsnc  33810  ftc1cnnclem  33814  areacirc  33836  itgpowd  38320  areaquad  38322  itgsin0pilem1  40686  itgsinexplem1  40690  itgsinexp  40691  ditgeqiooicc  40697  ditgeq3d  40701  itgcoscmulx  40706  itgsincmulx  40711  itgioocnicc  40714  itgiccshift  40717  itgperiod  40718  wallispilem1  40803  wallispilem2  40804  dirkeritg  40840  fourierdlem16  40861  fourierdlem21  40866  fourierdlem30  40875  fourierdlem73  40917  fourierdlem81  40925  fourierdlem82  40926  fourierdlem83  40927  fourierdlem87  40931  fourierdlem93  40937  fourierdlem95  40939  fourierdlem101  40945  fourierdlem103  40947  fourierdlem104  40948  fourierdlem111  40955  fourierdlem112  40956  fourierdlem115  40959  sqwvfoura  40966  sqwvfourb  40967
  Copyright terms: Public domain W3C validator