MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcnlem 23755
Description: Expand out the sum in dfitg 23735. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnlem.r 𝑅 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.s 𝑆 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.t 𝑇 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.u 𝑈 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.v ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgcnlem.i (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgcnlem (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ((𝑅𝑆) + (i · (𝑇𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem itgcnlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . 4 (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
21dfitg 23735 . . 3 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
3 nn0uz 11915 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
4 df-3 11272 . . . . 5 3 = (2 + 1)
5 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = (i↑3))
6 i3 13160 . . . . . . 7 (i↑3) = -i
75, 6syl6eq 2810 . . . . . 6 (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = -i)
86itgvallem 23750 . . . . . 6 (𝑘 = 3 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))
97, 8oveq12d 6831 . . . . 5 (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (-i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0)))))
10 ax-icn 10187 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → i ∈ ℂ)
12 expcl 13072 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1311, 12sylan 489 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
14 nn0z 11592 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
15 eqidd 2761 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
16 eqidd 2761 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
17 itgcnlem.i . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
18 itgcnlem.v . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
1915, 16, 17, 18iblitg 23734 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
2019recnd 10260 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
2114, 20sylan2 492 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
2213, 21mulcld 10252 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) ∈ ℂ)
23 df-2 11271 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
24 oveq2 6821 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = (i↑2))
25 i2 13159 . . . . . . . 8 (i↑2) = -1
2624, 25syl6eq 2810 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = -1)
2725itgvallem 23750 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))
2826, 27oveq12d 6831 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (-1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0)))))
29 1e0p1 11744 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
30 oveq2 6821 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = (i↑1))
31 exp1 13060 . . . . . . . . . 10 (i ∈ ℂ → (i↑1) = i)
3210, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (i↑1) = i
3330, 32syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = i)
3432itgvallem 23750 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))))
3533, 34oveq12d 6831 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0)))))
36 0z 11580 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
37 iblmbf 23733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
3817, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
3938, 18mbfmptcl 23603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4039div1d 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 / 1) = 𝐵)
4140fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / 1)) = (ℜ‘𝐵))
4241ibllem 23730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))
4342mpteq2dv 4897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
4443fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))))
45 itgcnlem.r . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
4644, 45syl6reqr 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))))
4746oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 · 𝑅) = (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))))
48 itgcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))
49 itgcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)))
50 itgcnlem.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑈 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))
5145, 48, 49, 50, 18iblcnlem 23754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))))
5217, 51mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ)))
5352simp2d 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ))
5453simpld 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
5554recnd 10260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
5655mulid2d 10250 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 · 𝑅) = 𝑅)
5747, 56eqtr3d 2796 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))) = 𝑅)
5857, 55eqeltrd 2839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))) ∈ ℂ)
59 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (i↑𝑘) = (i↑0))
60 exp0 13058 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ∈ ℂ → (i↑0) = 1)
6110, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (i↑0) = 1
6259, 61syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (i↑𝑘) = 1)
6361itgvallem 23750 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))))
6462, 63oveq12d 6831 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))))
6564fsum1 14675 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))))
6636, 58, 65sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)))))
6766, 57eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = 𝑅)
68 0nn0 11499 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
6967, 68jctil 561 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...0)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = 𝑅))
70 imval 14046 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / i)))
7139, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / i)))
7271ibllem 23730 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))
7372mpteq2dv 4897 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0)))
7473fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))))
7549, 74syl5req 2807 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))) = 𝑇)
7675oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝜑 → (i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0)))) = (i · 𝑇))
7776oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 + (i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))))) = (𝑅 + (i · 𝑇)))
783, 29, 35, 22, 69, 77fsump1i 14699 . . . . . 6 (𝜑 → (1 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...1)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (𝑅 + (i · 𝑇))))
7939renegd 14148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
80 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
8180negnegi 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 --1 = 1
8281oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-𝐵 / --1) = (-𝐵 / 1)
8339negcld 10571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
8483div1d 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / 1) = -𝐵)
8582, 84syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / --1) = -𝐵)
8680negcli 10541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℂ
87 neg1ne0 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ≠ 0
88 div2neg 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (-𝐵 / --1) = (𝐵 / -1))
8986, 87, 88mp3an23 1565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℂ → (-𝐵 / --1) = (𝐵 / -1))
9039, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / --1) = (𝐵 / -1))
9185, 90eqtr3d 2796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 = (𝐵 / -1))
9291fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / -1)))
9379, 92eqtr3d 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / -1)))
9493ibllem 23730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))
9594mpteq2dv 4897 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0)))
9695fveq2d 6356 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))
9748, 96syl5eq 2806 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))
9897oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 · 𝑆) = (-1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0)))))
9953simprd 482 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
10099recnd 10260 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
101100mulm1d 10674 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 · 𝑆) = -𝑆)
10298, 101eqtr3d 2796 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0)))) = -𝑆)
103102oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 + (i · 𝑇)) + (-1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))) = ((𝑅 + (i · 𝑇)) + -𝑆))
10452simp3d 1139 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))
105104simpld 477 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
106105recnd 10260 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
107 mulcl 10212 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (i · 𝑇) ∈ ℂ)
10810, 106, 107sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (i · 𝑇) ∈ ℂ)
10955, 108addcld 10251 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 + (i · 𝑇)) ∈ ℂ)
110109, 100negsubd 10590 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 + (i · 𝑇)) + -𝑆) = ((𝑅 + (i · 𝑇)) − 𝑆))
11155, 108, 100addsubd 10605 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 + (i · 𝑇)) − 𝑆) = ((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)))
112103, 110, 1113eqtrd 2798 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅 + (i · 𝑇)) + (-1 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))) = ((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)))
1133, 23, 28, 22, 78, 112fsump1i 14699 . . . . 5 (𝜑 → (2 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...2)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((𝑅𝑆) + (i · 𝑇))))
114 imval 14046 . . . . . . . . . . . . . 14 (-𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐵) = (ℜ‘(-𝐵 / i)))
11583, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) = (ℜ‘(-𝐵 / i)))
11639imnegd 14149 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) = -(ℑ‘𝐵))
11710negnegi 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 --i = i
118117eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i = --i
119118oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝐵 / i) = (-𝐵 / --i)
12010negcli 10541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -i ∈ ℂ
121 ine0 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 i ≠ 0
12210, 121negne0i 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -i ≠ 0
123 div2neg 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ ∧ -i ≠ 0) → (-𝐵 / --i) = (𝐵 / -i))
124120, 122, 123mp3an23 1565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℂ → (-𝐵 / --i) = (𝐵 / -i))
12539, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / --i) = (𝐵 / -i))
126119, 125syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / i) = (𝐵 / -i))
127126fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(-𝐵 / i)) = (ℜ‘(𝐵 / -i)))
128115, 116, 1273eqtr3d 2802 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / -i)))
129128ibllem 23730 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))
130129mpteq2dv 4897 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0)))
131130fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))
13250, 131syl5eq 2806 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))
133132oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝜑 → (-i · 𝑈) = (-i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0)))))
134104simprd 482 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
135134recnd 10260 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
136 mulneg12 10660 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℂ) → (-i · 𝑈) = (i · -𝑈))
13710, 135, 136sylancr 698 . . . . . . 7 (𝜑 → (-i · 𝑈) = (i · -𝑈))
138133, 137eqtr3d 2796 . . . . . 6 (𝜑 → (-i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0)))) = (i · -𝑈))
139138oveq2d 6829 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (-i · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))) = (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (i · -𝑈)))
1403, 4, 9, 22, 113, 139fsump1i 14699 . . . 4 (𝜑 → (3 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (i · -𝑈))))
141140simprd 482 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (i · -𝑈)))
1422, 141syl5eq 2806 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (i · -𝑈)))
14355, 100subcld 10584 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝑆) ∈ ℂ)
144135negcld 10571 . . . 4 (𝜑 → -𝑈 ∈ ℂ)
145 mulcl 10212 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ -𝑈 ∈ ℂ) → (i · -𝑈) ∈ ℂ)
14610, 144, 145sylancr 698 . . 3 (𝜑 → (i · -𝑈) ∈ ℂ)
147143, 108, 146addassd 10254 . 2 (𝜑 → (((𝑅𝑆) + (i · 𝑇)) + (i · -𝑈)) = ((𝑅𝑆) + ((i · 𝑇) + (i · -𝑈))))
14811, 106, 144adddid 10256 . . . 4 (𝜑 → (i · (𝑇 + -𝑈)) = ((i · 𝑇) + (i · -𝑈)))
149106, 135negsubd 10590 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 + -𝑈) = (𝑇𝑈))
150149oveq2d 6829 . . . 4 (𝜑 → (i · (𝑇 + -𝑈)) = (i · (𝑇𝑈)))
151148, 150eqtr3d 2796 . . 3 (𝜑 → ((i · 𝑇) + (i · -𝑈)) = (i · (𝑇𝑈)))
152151oveq2d 6829 . 2 (𝜑 → ((𝑅𝑆) + ((i · 𝑇) + (i · -𝑈))) = ((𝑅𝑆) + (i · (𝑇𝑈))))
153142, 147, 1523eqtrd 2798 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ((𝑅𝑆) + (i · (𝑇𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  ici 10130   + caddc 10131   · cmul 10133  cle 10267  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  2c2 11262  3c3 11263  0cn0 11484  cz 11569  ...cfz 12519  cexp 13054  cre 14036  cim 14037  Σcsu 14615  MblFncmbf 23582  2citg2 23584  𝐿1cibl 23585  citg 23586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-mbf 23587  df-ibl 23590  df-itg 23591
This theorem is referenced by:  itgrevallem1  23760  itgcnval  23765
  Copyright terms: Public domain W3C validator