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Theorem itg2splitlem 23735
Description: Lemma for itg2split 23736. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
itg2split.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
itg2split.c ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2splitlem (𝜑 → (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2splitlem
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 754 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
2 itg1cl 23672 . . . . . 6 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
4 itg2split.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
54adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝐴 ∈ dom vol)
6 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))
76i1fres 23692 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
81, 5, 7syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
9 itg1cl 23672 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
11 itg2split.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
1211adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝐵 ∈ dom vol)
13 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))
1413i1fres 23692 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝐵 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
151, 12, 14syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
16 itg1cl 23672 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
1810, 17readdcld 10271 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) ∈ ℝ)
19 itg2split.sf . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
20 itg2split.sg . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
2119, 20readdcld 10271 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
2221adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
23 inss1 3981 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
24 mblss 23519 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
254, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2623, 25syl5ss 3763 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
2726adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
28 itg2split.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
2928adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
30 reex 10229 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ V)
32 fvex 6342 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑥) ∈ V
33 c0ex 10236 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3432, 33ifex 4295 . . . . . . . . . . 11 if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ∈ V)
3632, 33ifex 4295 . . . . . . . . . . 11 if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ∈ V)
38 eqidd 2772 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)))
39 eqidd 2772 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))
4031, 35, 37, 38, 39offval2 7061 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))))
4140adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))))
428, 15i1fadd 23682 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
4341, 42eqeltrrd 2851 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
44 i1ff 23663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
46 eldifi 3883 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
47 ffvelrn 6500 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ∈ ℝ)
4845, 46, 47syl2an 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ∈ ℝ)
4948leidd 10796 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ (𝑓𝑦))
5049adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ (𝑓𝑦))
51 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
5251adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
53 eldifn 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴𝐵))
5453adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴𝐵))
55 elin 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
5654, 55sylnib 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
57 imnan 386 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝐵) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
5856, 57sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝐵))
5958imp 393 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ 𝑦𝐵)
60 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐵 → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = 0)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = 0)
6252, 61oveq12d 6811 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = ((𝑓𝑦) + 0))
6348recnd 10270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ∈ ℂ)
6463adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ∈ ℂ)
6564addid1d 10438 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑓𝑦) + 0) = (𝑓𝑦))
6662, 65eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = (𝑓𝑦))
6750, 66breqtrrd 4814 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
6849ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ (𝑓𝑦))
69 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵 → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
7069adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
7168, 70breqtrrd 4814 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
72 itg2split.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
7372ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → 𝑈 = (𝐴𝐵))
7473eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝑈𝑦 ∈ (𝐴𝐵)))
75 elun 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
7674, 75syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝑈 ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵)))
7776notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (¬ 𝑦𝑈 ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵)))
78 ioran 964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵))
7977, 78syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (¬ 𝑦𝑈 ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)))
8079biimpar 463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)) → ¬ 𝑦𝑈)
81 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝑓𝑟𝐻)
82 ffn 6185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:ℝ⟶ℝ → 𝑓 Fn ℝ)
8345, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝑓 Fn ℝ)
84 itg2split.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
8584adantlr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
86 0e0iccpnf 12490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ (0[,]+∞)
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
8885, 87ifclda 4259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
89 itg2split.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
9088, 89fmptd 6527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
91 ffn 6185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) → 𝐻 Fn ℝ)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐻 Fn ℝ)
9392adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝐻 Fn ℝ)
9430a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ℝ ∈ V)
95 inidm 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
96 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑦))
97 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑦))
9883, 93, 94, 94, 95, 96, 97ofrfval 7052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑓𝑟𝐻 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦)))
9981, 98mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
10099r19.21bi 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
10146, 100sylan2 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
102101adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
10346adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
104 eldif 3733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝑈))
105 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝑦
106 nfmpt1 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
10789, 106nfcxfr 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝐻
108107, 105nffv 6339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝐻𝑦)
109108nfeq1 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐻𝑦) = 0
110 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
111110eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻𝑥) = 0 ↔ (𝐻𝑦) = 0))
112 eldif 3733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝑈))
11389fvmpt2i 6432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐻𝑥) = ( I ‘if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
114 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥𝑈 → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 0)
115114fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑈 → ( I ‘if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)) = ( I ‘0))
116 0cn 10234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℂ
117 fvi 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( I ‘0) = 0
119115, 118syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑈 → ( I ‘if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)) = 0)
120113, 119sylan9eq 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝑈) → (𝐻𝑥) = 0)
121112, 120sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻𝑥) = 0)
122105, 109, 111, 121vtoclgaf 3422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻𝑦) = 0)
123104, 122sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝐻𝑦) = 0)
124103, 123sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝐻𝑦) = 0)
125102, 124breqtrd 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝑓𝑦) ≤ 0)
12680, 125syldan 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)) → (𝑓𝑦) ≤ 0)
127126anassrs 458 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ 0)
12860adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦𝐵) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = 0)
129127, 128breqtrrd 4814 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
13071, 129pm2.61dan 813 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
131 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = 0)
132131adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = 0)
133132oveq1d 6808 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = (0 + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
134 0re 10242 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
135 ifcl 4269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℝ)
13648, 134, 135sylancl 574 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℝ)
137136recnd 10270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℂ)
138137adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℂ)
139138addid2d 10439 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (0 + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
140133, 139eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
141130, 140breqtrrd 4814 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
14267, 141pm2.61dan 813 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
143 eleq1w 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
144 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑦))
145143, 144ifbieq1d 4248 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0))
146 eleq1w 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
147146, 144ifbieq1d 4248 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
148145, 147oveq12d 6811 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) = (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
149 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))
150 ovex 6823 . . . . . . . . . 10 (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) ∈ V
151148, 149, 150fvmpt 6424 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
152103, 151syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
153142, 152breqtrrd 4814 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))‘𝑦))
1541, 27, 29, 43, 153itg1lea 23699 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1𝑓) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
15541fveq2d 6336 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
1568, 15itg1add 23688 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
157155, 156eqtr3d 2807 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
158154, 157breqtrd 4812 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1𝑓) ≤ ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
15919adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
16020adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
161 ssun1 3927 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
162161, 72syl5sseqr 3803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑈)
163162sselda 3752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
164163adantlr 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
165164, 85syldan 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
16686a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
167165, 166ifclda 4259 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
168 itg2split.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
169167, 168fmptd 6527 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
170169adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
171 nfv 1995 . . . . . . . . . 10 𝑥𝜑
172 nfv 1995 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
173 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑓
174 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑟
175173, 174, 107nfbr 4833 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑓𝑟𝐻
176172, 175nfan 1980 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)
177171, 176nfan 1980 . . . . . . . . 9 𝑥(𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻))
1785, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
179178sselda 3752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
18030a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
18132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ V)
18288adantlr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
18344adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
184183feqmptd 6391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑥)))
18589a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
186180, 181, 182, 184, 185ofrfval2 7062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
187186biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
188187impr 442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
189188r19.21bi 3081 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
190179, 189syldan 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
191163adantlr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
192191iftrued 4233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
193190, 192breqtrd 4812 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ 𝐶)
194 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
195194adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
196 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
197196adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
198193, 195, 1973brtr4d 4818 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
199 0le0 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 0
200199a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → 0 ≤ 0)
201 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = 0)
202 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
203200, 201, 2023brtr4d 4818 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
204203adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
205198, 204pm2.61dan 813 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
206205a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
207177, 206ralrimi 3106 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
208168a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
20931, 35, 167, 38, 208ofrfval2 7062 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
210209adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
211207, 210mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹)
212 itg2ub 23720 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
213170, 8, 211, 212syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
214 ssun2 3928 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
215214, 72syl5sseqr 3803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵𝑈)
216215sselda 3752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
217216adantlr 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
218217, 85syldan 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
21986a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
220218, 219ifclda 4259 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
221 itg2split.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
222220, 221fmptd 6527 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
223222adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
224 mblss 23519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
22512, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
226225sselda 3752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
227226, 189syldan 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
228216adantlr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
229228iftrued 4233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
230227, 229breqtrd 4812 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≤ 𝐶)
231 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
232231adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
233 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
234233adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
235230, 232, 2343brtr4d 4818 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
236199a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵 → 0 ≤ 0)
237 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = 0)
238 iffalse 4234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 0)
239236, 237, 2383brtr4d 4818 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
240239adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
241235, 240pm2.61dan 813 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
242241a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
243177, 242ralrimi 3106 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
244221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
24531, 37, 220, 39, 244ofrfval2 7062 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
246245adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
247243, 246mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐺)
248 itg2ub 23720 . . . . . . 7 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐺) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐺))
249223, 15, 247, 248syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐺))
25010, 17, 159, 160, 213, 249le2addd 10848 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
2513, 18, 22, 158, 250letrd 10396 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
252251expr 444 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
253252ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
25421rexrd 10291 . . 3 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*)
255 itg2leub 23721 . . 3 ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))))
25690, 254, 255syl2anc 573 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))))
257253, 256mpbird 247 1 (𝜑 → (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 834   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  cdif 3720  cun 3721  cin 3722  wss 3723  ifcif 4225   class class class wbr 4786  cmpt 4863   I cid 5156  dom cdm 5249   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑓 cof 7042  𝑟 cofr 7043  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141  +∞cpnf 10273  *cxr 10275  cle 10277  [,]cicc 12383  vol*covol 23450  volcvol 23451  1citg1 23603  2citg2 23604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-rest 16291  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cmp 21411  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609
This theorem is referenced by:  itg2split  23736
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