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Theorem itg2splitlem 23496
Description: Lemma for itg2split 23497. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
itg2split.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
itg2split.c ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2splitlem (𝜑 → (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2splitlem
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 793 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
2 itg1cl 23433 . . . . . 6 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
4 itg2split.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝐴 ∈ dom vol)
6 eqid 2620 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))
76i1fres 23453 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
81, 5, 7syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
9 itg1cl 23433 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
11 itg2split.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝐵 ∈ dom vol)
13 eqid 2620 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))
1413i1fres 23453 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝐵 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
151, 12, 14syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
16 itg1cl 23433 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ ℝ)
1810, 17readdcld 10054 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) ∈ ℝ)
19 itg2split.sf . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
20 itg2split.sg . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
2119, 20readdcld 10054 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
23 inss1 3825 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
24 mblss 23280 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
254, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2623, 25syl5ss 3606 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
28 itg2split.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
30 reex 10012 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ V)
32 fvex 6188 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑥) ∈ V
33 c0ex 10019 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3432, 33ifex 4147 . . . . . . . . . . 11 if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ∈ V)
3632, 33ifex 4147 . . . . . . . . . . 11 if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ∈ V)
38 eqidd 2621 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)))
39 eqidd 2621 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))
4031, 35, 37, 38, 39offval2 6899 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))))
4140adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))))
428, 15i1fadd 23443 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
4341, 42eqeltrrd 2700 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ∈ dom ∫1)
44 i1ff 23424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
46 eldifi 3724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
47 ffvelrn 6343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ∈ ℝ)
4845, 46, 47syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ∈ ℝ)
4948leidd 10579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ (𝑓𝑦))
5049adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ (𝑓𝑦))
51 iftrue 4083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
53 eldifn 3725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴𝐵))
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴𝐵))
55 elin 3788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
5654, 55sylnib 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
57 imnan 438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝐵) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
5856, 57sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝐵))
5958imp 445 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ 𝑦𝐵)
60 iffalse 4086 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐵 → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = 0)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = 0)
6252, 61oveq12d 6653 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = ((𝑓𝑦) + 0))
6348recnd 10053 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ∈ ℂ)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ∈ ℂ)
6564addid1d 10221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑓𝑦) + 0) = (𝑓𝑦))
6662, 65eqtrd 2654 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = (𝑓𝑦))
6750, 66breqtrrd 4672 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
6849ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ (𝑓𝑦))
69 iftrue 4083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵 → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
7069adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = (𝑓𝑦))
7168, 70breqtrrd 4672 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
72 itg2split.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
7372ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → 𝑈 = (𝐴𝐵))
7473eleq2d 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝑈𝑦 ∈ (𝐴𝐵)))
75 elun 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵))
7674, 75syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝑈 ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐵)))
7776notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (¬ 𝑦𝑈 ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵)))
78 ioran 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑦𝐴𝑦𝐵) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵))
7977, 78syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (¬ 𝑦𝑈 ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)))
8079biimpar 502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)) → ¬ 𝑦𝑈)
81 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝑓𝑟𝐻)
82 ffn 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:ℝ⟶ℝ → 𝑓 Fn ℝ)
8345, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝑓 Fn ℝ)
84 itg2split.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
8584adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
86 0e0iccpnf 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ (0[,]+∞)
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
8885, 87ifclda 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
89 itg2split.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
9088, 89fmptd 6371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
91 ffn 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) → 𝐻 Fn ℝ)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐻 Fn ℝ)
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝐻 Fn ℝ)
9430a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ℝ ∈ V)
95 inidm 3814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
96 eqidd 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑦))
97 eqidd 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑦))
9883, 93, 94, 94, 95, 96, 97ofrfval 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑓𝑟𝐻 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦)))
9981, 98mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
10099r19.21bi 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
10146, 100sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝑓𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
10346adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
104 eldif 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝑈))
105 nfcv 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝑦
106 nfmpt1 4738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
10789, 106nfcxfr 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝐻
108107, 105nffv 6185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝐻𝑦)
109108nfeq1 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐻𝑦) = 0
110 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
111110eqeq1d 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻𝑥) = 0 ↔ (𝐻𝑦) = 0))
112 eldif 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝑈))
11389fvmpt2i 6277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐻𝑥) = ( I ‘if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
114 iffalse 4086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥𝑈 → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 0)
115114fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑈 → ( I ‘if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)) = ( I ‘0))
116 0cn 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℂ
117 fvi 6242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( I ‘0) = 0
119115, 118syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑈 → ( I ‘if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)) = 0)
120113, 119sylan9eq 2674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝑈) → (𝐻𝑥) = 0)
121112, 120sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻𝑥) = 0)
122105, 109, 111, 121vtoclgaf 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝑈) → (𝐻𝑦) = 0)
123104, 122sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝐻𝑦) = 0)
124103, 123sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝐻𝑦) = 0)
125102, 124breqtrd 4670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝑈) → (𝑓𝑦) ≤ 0)
12680, 125syldan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)) → (𝑓𝑦) ≤ 0)
127126anassrs 679 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ 0)
12860adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦𝐵) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) = 0)
129127, 128breqtrrd 4672 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦𝐵) → (𝑓𝑦) ≤ if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
13071, 129pm2.61dan 831 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
131 iffalse 4086 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = 0)
132131adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) = 0)
133132oveq1d 6650 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = (0 + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
134 0re 10025 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
135 ifcl 4121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℝ)
13648, 134, 135sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℝ)
137136recnd 10053 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℂ)
138137adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0) ∈ ℂ)
139138addid2d 10222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (0 + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
140133, 139eqtrd 2654 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) = if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
141130, 140breqtrrd 4672 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≤ (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
14267, 141pm2.61dan 831 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
143 eleq1 2687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
144 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑦))
145143, 144ifbieq1d 4100 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0))
146 eleq1 2687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
147146, 144ifbieq1d 4100 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0))
148145, 147oveq12d 6653 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) = (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
149 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))
150 ovex 6663 . . . . . . . . . 10 (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)) ∈ V
151148, 149, 150fvmpt 6269 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
152103, 151syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))‘𝑦) = (if(𝑦𝐴, (𝑓𝑦), 0) + if(𝑦𝐵, (𝑓𝑦), 0)))
153142, 152breqtrrd 4672 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))‘𝑦))
1541, 27, 29, 43, 153itg1lea 23460 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1𝑓) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
15541fveq2d 6182 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
1568, 15itg1add 23449 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
157155, 156eqtr3d 2656 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) + if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
158154, 157breqtrd 4670 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1𝑓) ≤ ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))))
15919adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
16020adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
161 ssun1 3768 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
162161, 72syl5sseqr 3646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑈)
163162sselda 3595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
164163adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
165164, 85syldan 487 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
16686a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
167165, 166ifclda 4111 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
168 itg2split.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
169167, 168fmptd 6371 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
170169adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
171 nfv 1841 . . . . . . . . . 10 𝑥𝜑
172 nfv 1841 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
173 nfcv 2762 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑓
174 nfcv 2762 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑟
175173, 174, 107nfbr 4690 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑓𝑟𝐻
176172, 175nfan 1826 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)
177171, 176nfan 1826 . . . . . . . . 9 𝑥(𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻))
1785, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
179178sselda 3595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
18030a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
18132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ V)
18288adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
18344adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
184183feqmptd 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑥)))
18589a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
186180, 181, 182, 184, 185ofrfval2 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
187186biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0)))
188187impr 648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
189188r19.21bi 2929 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
190179, 189syldan 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
191163adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
192191iftrued 4085 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
193190, 192breqtrd 4670 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ 𝐶)
194 iftrue 4083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
195194adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
196 iftrue 4083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
197196adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
198193, 195, 1973brtr4d 4676 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
199 0le0 11095 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 0
200199a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → 0 ≤ 0)
201 iffalse 4086 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) = 0)
202 iffalse 4086 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
203200, 201, 2023brtr4d 4676 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
204203adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
205198, 204pm2.61dan 831 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
206205a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
207177, 206ralrimi 2954 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
208168a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
20931, 35, 167, 38, 208ofrfval2 6900 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
210209adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
211207, 210mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹)
212 itg2ub 23481 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
213170, 8, 211, 212syl3anc 1324 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
214 ssun2 3769 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
215214, 72syl5sseqr 3646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵𝑈)
216215sselda 3595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
217216adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
218217, 85syldan 487 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
21986a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
220218, 219ifclda 4111 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
221 itg2split.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
222220, 221fmptd 6371 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
223222adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
224 mblss 23280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
22512, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
226225sselda 3595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
227226, 189syldan 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
228216adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
229228iftrued 4085 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
230227, 229breqtrd 4670 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≤ 𝐶)
231 iftrue 4083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
232231adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = (𝑓𝑥))
233 iftrue 4083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
234233adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
235230, 232, 2343brtr4d 4676 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
236199a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵 → 0 ≤ 0)
237 iffalse 4086 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) = 0)
238 iffalse 4086 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 0)
239236, 237, 2383brtr4d 4676 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐵 → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
240239adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
241235, 240pm2.61dan 831 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
242241a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
243177, 242ralrimi 2954 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
244221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
24531, 37, 220, 39, 244ofrfval2 6900 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
246245adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
247243, 246mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐺)
248 itg2ub 23481 . . . . . . 7 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)) ∘𝑟𝐺) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐺))
249223, 15, 247, 248syl3anc 1324 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐺))
25010, 17, 159, 160, 213, 249le2addd 10631 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝑓𝑥), 0))) + (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, (𝑓𝑥), 0)))) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
2513, 18, 22, 158, 250letrd 10179 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐻)) → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
252251expr 642 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
253252ralrimiva 2963 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
25421rexrd 10074 . . 3 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*)
255 itg2leub 23482 . . 3 ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))))
25690, 254, 255syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐻 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))))
257253, 256mpbird 247 1 (𝜑 → (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  Vcvv 3195  cdif 3564  cun 3565  cin 3566  wss 3567  ifcif 4077   class class class wbr 4644  cmpt 4720   I cid 5013  dom cdm 5104   Fn wfn 5871  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  𝑓 cof 6880  𝑟 cofr 6881  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921   + caddc 9924  +∞cpnf 10056  *cxr 10058  cle 10060  [,]cicc 12163  vol*covol 23212  volcvol 23213  1citg1 23365  2citg2 23366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-disj 4612  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-ofr 6883  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398  df-rest 16064  df-topgen 16085  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-top 20680  df-topon 20697  df-bases 20731  df-cmp 21171  df-ovol 23214  df-vol 23215  df-mbf 23369  df-itg1 23370  df-itg2 23371
This theorem is referenced by:  itg2split  23497
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