MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2split Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2split 23561
Description: The 2 integral splits under an almost disjoint union. (The proof avoids the use of itg2add 23571 which requires CC.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
itg2split.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
itg2split.c ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2split (𝜑 → (∫2𝐻) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2split
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2split.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
2 itg2split.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
3 itg2split.i . . 3 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
4 itg2split.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
5 itg2split.c . . 3 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6 itg2split.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
7 itg2split.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
8 itg2split.h . . 3 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
9 itg2split.sf . . 3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
10 itg2split.sg . . 3 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10itg2splitlem 23560 . 2 (𝜑 → (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
1210adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
135adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14 0e0iccpnf 12321 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]+∞)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
1613, 15ifclda 4153 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
1716, 8fmptd 6425 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
189, 10readdcld 10107 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
19 itg2lecl 23550 . . . . . . . . 9 ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))) → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
2017, 18, 11, 19syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
22 itg1cl 23497 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
2322ad2antrl 764 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
24 simprll 819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
25 simprrl 821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑔 ∈ dom ∫1)
2624, 25itg1add 23513 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (∫1‘(𝑓𝑓 + 𝑔)) = ((∫1𝑓) + (∫1𝑔)))
2717adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
2824, 25i1fadd 23507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ dom ∫1)
29 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
30 mblss 23345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
311, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3229, 31syl5ss 3647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
343adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
35 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝜑
36 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
37 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑓
38 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑟
39 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
406, 39nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝐹
4137, 38, 40nfbr 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑓𝑟𝐹
4236, 41nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)
43 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑔 ∈ dom ∫1
44 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑔
45 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
467, 45nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝐺
4744, 38, 46nfbr 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑔𝑟𝐺
4843, 47nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺)
4942, 48nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))
5035, 49nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺)))
51 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
52 i1ff 23488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
5324, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
54 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:ℝ⟶ℝ → 𝑓 Fn ℝ)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑓 Fn ℝ)
56 i1ff 23488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔:ℝ⟶ℝ)
5725, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑔:ℝ⟶ℝ)
58 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔:ℝ⟶ℝ → 𝑔 Fn ℝ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑔 Fn ℝ)
60 reex 10065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℝ ∈ V
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → ℝ ∈ V)
62 inidm 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
63 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
64 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
6555, 59, 61, 61, 62, 63, 64ofval 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)))
6651, 65sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)))
67 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
6853, 51, 67syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
69 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
7057, 51, 69syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
7168, 70readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
7271rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
7468adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
7574rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ*)
76 iccssxr 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
77 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻𝑥) ∈ (0[,]+∞))
7827, 51, 77syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝐻𝑥) ∈ (0[,]+∞))
7976, 78sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
8170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
82 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
83 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑔𝑟𝐺)
8460a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → ℝ ∈ V)
85 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑔 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) ∈ V)
86 ssun2 3810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
8786, 4syl5sseqr 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑𝐵𝑈)
8887sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
8988adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
9089, 13syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
9114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
9290, 91ifclda 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
9392adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑔 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
94 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → 𝑔 Fn ℝ)
95 dffn5 6280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑔 Fn ℝ ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑔𝑥)))
9694, 95sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → 𝑔 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑔𝑥)))
977a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
9884, 85, 93, 96, 97ofrfval2 6957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → (𝑔𝑟𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
9959, 98syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (𝑔𝑟𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
10083, 99mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
101100r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
10251, 101sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
104 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
106 elin 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
107105, 106sylnib 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
108 imnan 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥𝐴 → ¬ 𝑥𝐵) ↔ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
109107, 108sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑥𝐴 → ¬ 𝑥𝐵))
110109imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
111110iffalsed 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 0)
112103, 111breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ 0)
11381, 82, 74, 112leadd2dd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ ((𝑓𝑥) + 0))
11474recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
115114addid1d 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + 0) = (𝑓𝑥))
116113, 115breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝑓𝑥))
117 simprlr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑓𝑟𝐹)
11860a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → ℝ ∈ V)
119 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ V)
120 ssun1 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
121120, 4syl5sseqr 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑𝐴𝑈)
122121sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
123122adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
124123, 13syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
126124, 125ifclda 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
127126adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
128 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → 𝑓 Fn ℝ)
129 dffn5 6280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 Fn ℝ ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑥)))
130128, 129sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑥)))
1316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
132118, 119, 127, 130, 131ofrfval2 6957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → (𝑓𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
13355, 132syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (𝑓𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
134117, 133mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
135134r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
13651, 135sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
137136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
138121ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → 𝐴𝑈)
139138sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
140139iftrued 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
141 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
14216adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
1438fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞)) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
144141, 142, 143syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
14551, 144sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
146145adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
147 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
148147adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
149140, 146, 1483eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
150137, 149breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
15173, 75, 80, 116, 150xrletrd 12031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝐻𝑥))
15272adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
15370adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
154153rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ*)
15579adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
15668adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
157 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
158136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
159 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
160159adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
161158, 160breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ 0)
162156, 157, 153, 161leadd1dd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (0 + (𝑔𝑥)))
163153recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℂ)
164163addid2d 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (0 + (𝑔𝑥)) = (𝑔𝑥))
165162, 164breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝑔𝑥))
166102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
167145adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
1684ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑈 = (𝐴𝐵))
169168eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐴𝐵)))
170 biorf 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑥𝐴 → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
171 elun 3786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
172170, 171syl6rbbr 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
173172adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
174169, 173bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑥𝑈𝑥𝐵))
175174ifbid 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
176167, 175eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
177166, 176breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
178152, 154, 155, 165, 177xrletrd 12031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝐻𝑥))
179151, 178pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝐻𝑥))
18066, 179eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
181180ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥)))
18250, 181ralrimi 2986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → ∀𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
183 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥)
184 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑦)
185 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥
186 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
1878, 186nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝐻
188 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝑦
189187, 188nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐻𝑦)
190184, 185, 189nfbr 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦)
191 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑦))
192 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
193191, 192breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥) ↔ ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦)))
194183, 190, 193cbvral 3197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
195182, 194sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → ∀𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
196195r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
19727, 28, 33, 34, 196itg2uba 23555 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (∫1‘(𝑓𝑓 + 𝑔)) ≤ (∫2𝐻))
19826, 197eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → ((∫1𝑓) + (∫1𝑔)) ≤ (∫2𝐻))
19923adantrr 753 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
200 itg1cl 23497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑔) ∈ ℝ)
20125, 200syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (∫1𝑔) ∈ ℝ)
20220adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
203199, 201, 202leaddsub2d 10667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (((∫1𝑓) + (∫1𝑔)) ≤ (∫2𝐻) ↔ (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓))))
204198, 203mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))
205204anassrs 681 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺)) → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))
206205expr 642 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑔𝑟𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓))))
207206ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓))))
20892, 7fmptd 6425 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
209208adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
21021, 23resubcld 10496 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ∈ ℝ)
211210rexrd 10127 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ∈ ℝ*)
212 itg2leub 23546 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐺) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))))
213209, 211, 212syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → ((∫2𝐺) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))))
214207, 213mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (∫2𝐺) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))
21512, 21, 23, 214lesubd 10669 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))
216215expr 642 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
217216ralrimiva 2995 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
218126, 6fmptd 6425 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
21920, 10resubcld 10496 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
220219rexrd 10127 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ∈ ℝ*)
221 itg2leub 23546 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))))
222218, 220, 221syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ((∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))))
223217, 222mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))
224 leaddsub 10542 . . . 4 (((∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐻) ∈ ℝ) → (((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻) ↔ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
2259, 10, 20, 224syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → (((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻) ↔ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
226223, 225mpbird 247 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻))
227 itg2cl 23544 . . . 4 (𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐻) ∈ ℝ*)
22817, 227syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐻) ∈ ℝ*)
22918rexrd 10127 . . 3 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*)
230 xrletri3 12023 . . 3 (((∫2𝐻) ∈ ℝ* ∧ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐻) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ ((∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∧ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻))))
231228, 229, 230syl2anc 694 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐻) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ ((∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∧ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻))))
23211, 226, 231mpbir2and 977 1 (𝜑 → (∫2𝐻) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  𝑟 cofr 6938  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977  +∞cpnf 10109  *cxr 10111  cle 10113  cmin 10304  [,]cicc 12216  vol*covol 23277  volcvol 23278  1citg1 23429  2citg2 23430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435
This theorem is referenced by:  itg2cnlem2  23574  itgsplit  23647  iblsplit  40500
  Copyright terms: Public domain W3C validator