MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2mulclem 23704
Description: Lemma for itg2mulc 23705. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulclem.4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itg2mulclem (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulclem
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2 icossicc 12445 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
3 fss 6209 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
41, 2, 3sylancl 697 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
54adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
6 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
7 itg2mulclem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
87rpreccld 12067 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
98adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
109rpred 12057 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
116, 10i1fmulc 23661 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∈ dom ∫1)
12 itg2ub 23691 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∈ dom ∫1 ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹))
13123expia 1114 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∘𝑟𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹)))
145, 11, 13syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∘𝑟𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹)))
15 i1ff 23634 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
1615adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
1716ffvelrnda 6514 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ∈ ℝ)
18 rge0ssre 12465 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
19 fss 6209 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
201, 18, 19sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2120adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2221ffvelrnda 6514 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
237rpred 12057 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2423ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
257rpgt0d 12060 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝐴)
2625ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < 𝐴)
27 ledivmul 11083 . . . . . . . 8 (((𝑓𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((𝑓𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
2817, 22, 24, 26, 27syl112anc 1477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
2917recnd 10252 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ∈ ℂ)
3024recnd 10252 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
317adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3231rpne0d 12062 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ≠ 0)
3332adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
3429, 30, 33divrec2d 10989 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑦) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)))
3534breq1d 4806 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
3628, 35bitr3d 270 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
3736ralbidva 3115 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
38 reex 10211 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
3938a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
40 ovexd 6835 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ V)
4116feqmptd 6403 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑦)))
427ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
43 fconstmpt 5312 . . . . . . . 8 (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
4443a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴))
451feqmptd 6403 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
4645adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
4739, 42, 22, 44, 46offval2 7071 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
4839, 17, 40, 41, 47ofrfval2 7072 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
49 ovexd 6835 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ∈ V)
508ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
51 fconstmpt 5312 . . . . . . . 8 (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴))
5251a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴)))
5339, 50, 17, 52, 41offval2 7071 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦))))
5439, 49, 22, 53, 46ofrfval2 7072 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
5537, 48, 543bitr4d 300 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ↔ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∘𝑟𝐹))
566, 10itg1mulc 23662 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) = ((1 / 𝐴) · (∫1𝑓)))
57 itg1cl 23643 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
5857adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
5958recnd 10252 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1𝑓) ∈ ℂ)
6023adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6160recnd 10252 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℂ)
6259, 61, 32divrec2d 10989 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1𝑓) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫1𝑓)))
6356, 62eqtr4d 2789 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) = ((∫1𝑓) / 𝐴))
6463breq1d 4806 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹) ↔ ((∫1𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2𝐹)))
65 itg2mulc.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
6665adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
6725adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 0 < 𝐴)
68 ledivmul 11083 . . . . . 6 (((∫1𝑓) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((∫1𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
6958, 66, 60, 67, 68syl112anc 1477 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((∫1𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
7064, 69bitr2d 269 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹)))
7114, 55, 703imtr4d 283 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
7271ralrimiva 3096 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
73 ge0mulcl 12470 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7473adantl 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
75 fconstg 6245 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
767, 75syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
77 rpre 12024 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
78 rpge0 12030 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
79 elrege0 12463 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
8077, 78, 79sylanbrc 701 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ (0[,)+∞))
817, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (0[,)+∞))
8281snssd 4477 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (0[,)+∞))
8376, 82fssd 6210 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
8438a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
85 inidm 3957 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
8674, 83, 1, 84, 84, 85off 7069 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
87 fss 6209 . . . 4 ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
8886, 2, 87sylancl 697 . . 3 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
8923, 65remulcld 10254 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ)
9089rexrd 10273 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ*)
91 itg2leub 23692 . . 3 ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))))
9288, 90, 91syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))))
9372, 92mpbird 247 1 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  Vcvv 3332  wss 3707  {csn 4313   class class class wbr 4796  cmpt 4873   × cxp 5256  dom cdm 5258  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  𝑓 cof 7052  𝑟 cofr 7053  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   · cmul 10125  +∞cpnf 10255  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259   / cdiv 10868  +crp 12017  [,)cico 12362  [,]cicc 12363  1citg1 23575  2citg2 23576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-ofr 7055  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xadd 12132  df-ioo 12364  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608  df-xmet 19933  df-met 19934  df-ovol 23425  df-vol 23426  df-mbf 23579  df-itg1 23580  df-itg2 23581
This theorem is referenced by:  itg2mulc  23705
  Copyright terms: Public domain W3C validator