Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2monolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2monolem2 23717
 Description: Lemma for itg2mono 23719. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
itg2mono.2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ MblFn)
itg2mono.3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mono.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
itg2mono.5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
itg2mono.6 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7 (𝜑𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8 (𝜑𝑃𝑟𝐺)
itg2monolem2.9 (𝜑 → ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
itg2monolem2 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem2
StepHypRef Expression
1 itg2mono.6 . . 3 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < )
2 itg2mono.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
3 icossicc 12453 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
4 fss 6217 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
52, 3, 4sylancl 697 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
6 itg2cl 23698 . . . . . . 7 ((𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ*)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ*)
8 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))
97, 8fmptd 6548 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))):ℕ⟶ℝ*)
10 frn 6214 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))):ℕ⟶ℝ* → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ*)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ*)
12 supxrcl 12338 . . . 4 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
141, 13syl5eqel 2843 . 2 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
15 itg2monolem2.7 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ dom ∫1)
16 itg1cl 23651 . . 3 (𝑃 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑃) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . 2 (𝜑 → (∫1𝑃) ∈ ℝ)
18 mnfxr 10288 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
1918a1i 11 . . 3 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
20 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝐹𝑛) = (𝐹‘1))
2120feq1d 6191 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ((𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞)))
225ralrimiva 3104 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
23 1nn 11223 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
2521, 22, 24rspcdva 3455 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞))
26 itg2cl 23698 . . . 4 ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
2725, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
28 itg2ge0 23701 . . . . 5 ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
2925, 28syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
30 mnflt0 12152 . . . . 5 -∞ < 0
31 0xr 10278 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
32 xrltletr 12181 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1))) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
3318, 31, 32mp3an12 1563 . . . . . 6 ((∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ* → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1))) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
3427, 33syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1))) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
3530, 34mpani 714 . . . 4 (𝜑 → (0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
3629, 35mpd 15 . . 3 (𝜑 → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1)))
3720fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (∫2‘(𝐹𝑛)) = (∫2‘(𝐹‘1)))
38 fvex 6362 . . . . . . . 8 (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ V
3937, 8, 38fvmpt 6444 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1)))
4023, 39ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1))
41 ffn 6206 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))):ℕ⟶ℝ* → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) Fn ℕ)
429, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) Fn ℕ)
43 fnfvelrn 6519 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))))
4442, 23, 43sylancl 697 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))))
4540, 44syl5eqelr 2844 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))))
46 supxrub 12347 . . . . 5 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))) → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ))
4711, 45, 46syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ))
4847, 1syl6breqr 4846 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ 𝑆)
4919, 27, 14, 36, 48xrltletrd 12185 . 2 (𝜑 → -∞ < 𝑆)
50 itg2monolem2.9 . . . 4 (𝜑 → ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
5117rexrd 10281 . . . . 5 (𝜑 → (∫1𝑃) ∈ ℝ*)
52 xrltnle 10297 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1𝑃) ∈ ℝ*) → (𝑆 < (∫1𝑃) ↔ ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆))
5314, 51, 52syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 < (∫1𝑃) ↔ ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆))
5450, 53mpbird 247 . . 3 (𝜑𝑆 < (∫1𝑃))
55 xrltle 12175 . . . 4 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1𝑃) ∈ ℝ*) → (𝑆 < (∫1𝑃) → 𝑆 ≤ (∫1𝑃)))
5614, 51, 55syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝑆 < (∫1𝑃) → 𝑆 ≤ (∫1𝑃)))
5754, 56mpd 15 . 2 (𝜑𝑆 ≤ (∫1𝑃))
58 xrre 12193 . 2 (((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1𝑃) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑆𝑆 ≤ (∫1𝑃))) → 𝑆 ∈ ℝ)
5914, 17, 49, 57, 58syl22anc 1478 1 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ∘𝑟 cofr 7061  supcsup 8511  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  +∞cpnf 10263  -∞cmnf 10264  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267  ℕcn 11212  [,)cico 12370  [,]cicc 12371  MblFncmbf 23582  ∫1citg1 23583  ∫2citg2 23584 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-xmet 19941  df-met 19942  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588  df-itg2 23589 This theorem is referenced by:  itg2monolem3  23718
 Copyright terms: Public domain W3C validator