Theorem itg2itg1 23702

Description: The integral of a nonnegative simple function using ∫₂ is the same as its value under ∫₁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2itg1	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹))

Proof of Theorem itg2itg1

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1le 23679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹))
2	1	3expia 1115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
3	2	ancoms 468	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
4	3	ralrimiva 3104	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
5	4	adantr 472	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
6		i1ff 23642	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7		xrge0f 23697	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
8	6, 7	sylan 489	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
9		itg1cl 23651	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
10	9	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 10281	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ*)
12		itg2leub 23700	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫1‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹))))
13	8, 11, 12	syl2anc 696	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹))))
14	5, 13	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹))
15		simpl 474	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
16		reex 10219	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
18		leid 10325	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ 𝑥)
19	18	adantl 473	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ 𝑥)
20	17, 6, 19	caofref 7088	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
21	20	adantr 472	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
22		itg2ub 23699	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))
23	8, 15, 21, 22	syl3anc 1477	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))
24		itg2cl 23698	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
25	8, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
26		xrletri3 12178	. . 3 ⊢ (((∫2‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (∫1‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹) ↔ ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ∧ (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))))
27	25, 11, 26	syl2anc 696	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → ((∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹) ↔ ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ∧ (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))))
28	14, 23, 27	mpbir2and 995	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  Vcvv 3340   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ∘_𝑟 cofr 7061  ℝcr 10127  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  ℝ^*cxr 10265   ≤ cle 10267  [,]cicc 12371  ∫₁citg1 23583  ∫₂citg2 23584  0_𝑝c0p 23635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-xmet 19941  df-met 19942  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588  df-itg2 23589  df-0p 23636

This theorem is referenced by:  itg20  23703  itg2const  23706  itg2i1fseq  23721  i1fibl  23773  itgitg1  23774  ftc1anclem5  33802  ftc1anclem7  33804  ftc1anclem8  33805