MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseqle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2i1fseqle 23741
Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 23708, the sequence of simple functions are all less than the target function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseqle ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∘𝑟𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑃,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem itg2i1fseqle
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑀))
21fveq1d 6334 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑃𝑛)‘𝑦) = ((𝑃𝑀)‘𝑦))
3 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))
4 fvex 6342 . . . . . 6 ((𝑃𝑀)‘𝑦) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6424 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑀) = ((𝑃𝑀)‘𝑦))
65ad2antlr 706 . . . 4 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑀) = ((𝑃𝑀)‘𝑦))
7 nnuz 11925 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
8 simplr 752 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
9 itg2i1fseq.5 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
10 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑛)‘𝑦))
1110mpteq2dv 4879 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)))
12 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
1311, 12breq12d 4799 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)))
1413rspccva 3459 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
159, 14sylan 569 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
1615adantlr 694 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
17 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑘))
1817fveq1d 6334 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃𝑛)‘𝑦) = ((𝑃𝑘)‘𝑦))
19 fvex 6342 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑘)‘𝑦) ∈ V
2018, 3, 19fvmpt 6424 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝑃𝑘)‘𝑦))
2120adantl 467 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝑃𝑘)‘𝑦))
22 itg2i1fseq.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
2322ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ dom ∫1)
24 i1ff 23663 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑘) ∈ dom ∫1 → (𝑃𝑘):ℝ⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘):ℝ⟶ℝ)
2625ffvelrnda 6502 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑘)‘𝑦) ∈ ℝ)
2726an32s 631 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑘)‘𝑦) ∈ ℝ)
2821, 27eqeltrd 2850 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ∈ ℝ)
2928adantllr 698 . . . . 5 ((((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ∈ ℝ)
30 itg2i1fseq.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
31 simpr 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
3231ralimi 3101 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
34 fvoveq1 6816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
3517, 34breq12d 4799 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3635rspccva 3459 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
3733, 36sylan 569 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
38 ffn 6185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑘):ℝ⟶ℝ → (𝑃𝑘) Fn ℝ)
3923, 24, 383syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) Fn ℝ)
40 peano2nn 11234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
41 ffvelrn 6500 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
4222, 40, 41syl2an 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
43 i1ff 23663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)):ℝ⟶ℝ)
44 ffn 6185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃‘(𝑘 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘(𝑘 + 1)) Fn ℝ)
4542, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) Fn ℝ)
46 reex 10229 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
48 inidm 3971 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
49 eqidd 2772 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑘)‘𝑦) = ((𝑃𝑘)‘𝑦))
50 eqidd 2772 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
5139, 45, 47, 47, 48, 49, 50ofrfval 7052 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦)))
5237, 51mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
5352r19.21bi 3081 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
5453an32s 631 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
55 fveq2 6332 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑛) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
5655fveq1d 6334 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑃𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
57 fvex 6342 . . . . . . . . . 10 ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦) ∈ V
5856, 3, 57fvmpt 6424 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
5940, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
6059adantl 467 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
6154, 21, 603brtr4d 4818 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)))
6261adantllr 698 . . . . 5 ((((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)))
637, 8, 16, 29, 62climub 14600 . . . 4 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑀) ≤ (𝐹𝑦))
646, 63eqbrtrrd 4810 . . 3 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹𝑦))
6564ralrimiva 3115 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹𝑦))
6622ffvelrnda 6502 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ dom ∫1)
67 i1ff 23663 . . . 4 ((𝑃𝑀) ∈ dom ∫1 → (𝑃𝑀):ℝ⟶ℝ)
68 ffn 6185 . . . 4 ((𝑃𝑀):ℝ⟶ℝ → (𝑃𝑀) Fn ℝ)
6966, 67, 683syl 18 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) Fn ℝ)
70 itg2i1fseq.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
71 icossicc 12466 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
72 fss 6196 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
7370, 71, 72sylancl 574 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
74 ffn 6185 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
7573, 74syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
7675adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → 𝐹 Fn ℝ)
7746a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
78 eqidd 2772 . . 3 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑀)‘𝑦) = ((𝑃𝑀)‘𝑦))
79 eqidd 2772 . . 3 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
8069, 76, 77, 77, 48, 78, 79ofrfval 7052 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹𝑦)))
8165, 80mpbird 247 1 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∘𝑟𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  wss 3723   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑟 cofr 7043  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  +∞cpnf 10273  cle 10277  cn 11222  [,)cico 12382  [,]cicc 12383  cli 14423  MblFncmbf 23602  1citg1 23603  0𝑝c0p 23656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-itg1 23608
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  23742  itg2i1fseq3  23744  itg2addlem  23745
  Copyright terms: Public domain W3C validator