Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2const2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2const2 23727
 Description: When the base set of a constant function has infinite volume, the integral is also infinite and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2const2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem itg2const2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 807 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2 simpr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
3 rpre 12052 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
43ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 rpge0 12058 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐵)
65ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐵)
7 elrege0 12491 . . . . 5 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
84, 6, 7sylanbrc 701 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
9 itg2const 23726 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
101, 2, 8, 9syl3anc 1477 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
114, 2remulcld 10282 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (vol‘𝐴)) ∈ ℝ)
1210, 11eqeltrd 2839 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
13 mblvol 23518 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
1413ad2antrr 764 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
15 mblss 23519 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1615ad3antrrr 768 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
17 peano2re 10421 . . . . . . . 8 ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ)
1817adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ)
19 simplr 809 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2018, 19rerpdivcld 12116 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
2120adantr 472 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
22 simpr 479 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
23 ovollecl 23471 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
2416, 21, 22, 23syl3anc 1477 . . . 4 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
25 simplll 815 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom vol)
2620adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
2726rexrd 10301 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ*)
28 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
293ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3029rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
315ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐵)
32 elxrge0 12494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
3330, 31, 32sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
34 0e0iccpnf 12496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ (0[,]+∞)
35 ifcl 4274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
3633, 34, 35sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
37 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
3836, 37fmptd 6549 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
3938adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
40 itg2ge0 23721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
4228, 41ge0p1rpd 12115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ+)
4342, 19rpdivcld 12102 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ+)
4443rpge0d 12089 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
4544adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
4614breq2d 4816 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴) ↔ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)))
4746biimpar 503 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴))
48 0xr 10298 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
49 iccssxr 12469 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
50 volf 23517 . . . . . . . . . . . . 13 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
5150ffvelrni 6522 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
5249, 51sseldi 3742 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
5325, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
54 elicc1 12432 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴)) ↔ ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴))))
5548, 53, 54sylancr 698 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴)) ↔ ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴))))
5627, 45, 47, 55mpbir3and 1428 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴)))
57 volivth 23595 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴))) → ∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))
5825, 56, 57syl2anc 696 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → ∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))
5958ex 449 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴) → ∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))))
60 simprl 811 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝑧 ∈ dom vol)
61 simprrr 824 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
6220adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
6361, 62eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (vol‘𝑧) ∈ ℝ)
643ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6564adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6619adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
6766rpge0d 12089 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 0 ≤ 𝐵)
6865, 67, 7sylanbrc 701 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
69 itg2const 23726 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝑧)))
7060, 63, 68, 69syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝑧)))
7161oveq2d 6830 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝐵 · (vol‘𝑧)) = (𝐵 · (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))
7218recnd 10280 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℂ)
7364recnd 10280 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
74 rpne0 12061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
7574ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
7672, 73, 75divcan2d 11015 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (𝐵 · (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
7776adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝐵 · (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
7870, 71, 773eqtrd 2798 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
793adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
8079rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
815adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
8280, 81, 32sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
83 ifcl 4274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
8482, 34, 83sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
8584adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
86 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))
8785, 86fmptd 6549 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
8887ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
8939adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
90 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
91 simprl 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))) → 𝑧𝐴)
9279ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → 𝐵 ∈ ℝ)
9392leidd 10806 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → 𝐵𝐵)
94 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑧 → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) = 𝐵)
9594adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) = 𝐵)
96 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧𝐴)
9796sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥𝐴)
9897iftrued 4238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
9993, 95, 983brtr4d 4836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
100 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑧 → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) = 0)
101100adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑧) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) = 0)
102 0le0 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 0
103 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
104 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
105103, 104ifboth 4268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ 𝐵 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
10681, 102, 105sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
107106ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑧) → 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
108101, 107eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑧) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
10999, 108pm2.61dan 867 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
110109ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
111 reex 10239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ℝ ∈ V)
113 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)))
114 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
115112, 85, 36, 113, 114ofrfval2 7081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
116115biimpar 503 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
117110, 116syldan 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
11890, 91, 117syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
119 itg2le 23725 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
12088, 89, 118, 119syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
12178, 120eqbrtrrd 4828 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
122 ltp1 11073 . . . . . . . . . 10 ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) < ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
123122ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) < ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
124 simplr 809 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
12517ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ)
126124, 125ltnled 10396 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) < ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ↔ ¬ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))))
127123, 126mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ¬ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
128121, 127pm2.21dd 186 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
129128rexlimdvaa 3170 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
13059, 129syld 47 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
131130imp 444 . . . 4 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
13252ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
13314, 132eqeltrrd 2840 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
13420rexrd 10301 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ*)
135 xrletri 12197 . . . . 5 (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∨ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)))
136133, 134, 135syl2anc 696 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∨ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)))
13724, 131, 136mpjaodan 862 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
13814, 137eqeltrd 2839 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
13912, 138impbida 913 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ∘𝑟 cofr 7062  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  +∞cpnf 10283  ℝ*cxr 10285   < clt 10286   ≤ cle 10287   / cdiv 10896  ℝ+crp 12045  [,)cico 12390  [,]cicc 12391  vol*covol 23451  volcvol 23452  ∫2citg2 23604 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-rest 16305  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-cmp 21412  df-cncf 22902  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-0p 23656 This theorem is referenced by:  itg2gt0  23746
 Copyright terms: Public domain W3C validator