Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2cnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2cnlem2 23574
 Description: Lemma for itgcn 23654. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2cn.2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2cn.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
itg2cn.5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
itg2cn.6 (𝜑 → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
Assertion
Ref Expression
itg2cnlem2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥   𝑀,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑑)

Proof of Theorem itg2cnlem2
StepHypRef Expression
1 itg2cn.4 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
21rphalfcld 11922 . . 3 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
3 itg2cn.5 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnrpd 11908 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
52, 4rpdivcld 11927 . 2 (𝜑 → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ+)
6 simprl 809 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑢 ∈ dom vol)
7 itg2cn.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
87adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹 ∈ MblFn)
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10 rge0ssre 12318 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
11 fss 6094 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
129, 10, 11sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
14 mbfima 23444 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol)
158, 13, 14syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol)
16 inmbl 23356 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol) → (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
176, 15, 16syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
18 difmbl 23357 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol) → (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
196, 15, 18syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
20 inass 3856 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = (𝑢 ∩ ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))))
21 disjdif 4073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ∅
2221ineq2i 3844 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∩ ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = (𝑢 ∩ ∅)
23 in0 4001 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∩ ∅) = ∅
2420, 22, 233eqtri 2677 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ∅
2524fveq2i 6232 . . . . . . . . 9 (vol*‘((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = (vol*‘∅)
26 ovol0 23307 . . . . . . . . 9 (vol*‘∅) = 0
2725, 26eqtri 2673 . . . . . . . 8 (vol*‘((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0)
29 inundif 4079 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∪ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = 𝑢
3029eqcomi 2660 . . . . . . . 8 𝑢 = ((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∪ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
3130a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑢 = ((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∪ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))))
32 mblss 23345 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ dom vol → 𝑢 ⊆ ℝ)
336, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑢 ⊆ ℝ)
3433sselda 3636 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥𝑢) → 𝑥 ∈ ℝ)
359adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3635ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
37 elrege0 12316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
3836, 37sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
3938simpld 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
4039rexrd 10127 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
4138simprd 478 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
42 elxrge0 12319 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
4340, 41, 42sylanbrc 699 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
4434, 43syldan 486 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥𝑢) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
45 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))
46 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))
47 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))
48 0e0iccpnf 12321 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]+∞)
49 ifcl 4163 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
5043, 48, 49sylancl 695 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
5150, 45fmptd 6425 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
52 itg2cn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
5352adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
54 icossicc 12298 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
55 fss 6094 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
5635, 54, 55sylancl 695 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
5739leidd 10632 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
58 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
59 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
6058, 59ifboth 4157 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
6157, 41, 60syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
6261ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
63 reex 10065 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ℝ ∈ V)
65 eqidd 2652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))
6635feqmptd 6288 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
6764, 50, 39, 65, 66ofrfval2 6957 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
6862, 67mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹)
69 itg2le 23551 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
7051, 56, 68, 69syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
71 itg2lecl 23550 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
7251, 53, 70, 71syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
73 ifcl 4163 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
7443, 48, 73sylancl 695 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
7574, 46fmptd 6425 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
76 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
77 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
7876, 77ifboth 4157 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
7957, 41, 78syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
8079ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
81 eqidd 2652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))
8264, 74, 39, 81, 66ofrfval2 6957 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
8380, 82mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹)
84 itg2le 23551 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
8575, 56, 83, 84syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
86 itg2lecl 23550 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
8775, 53, 85, 86syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
8817, 19, 28, 31, 44, 45, 46, 47, 72, 87itg2split 23561 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))))
891adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
9089rphalfcld 11922 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
9190rpred 11910 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
92 ifcl 4163 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
9343, 48, 92sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
94 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
9593, 94fmptd 6425 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
96 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
97 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
9896, 97ifboth 4157 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
9957, 41, 98syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
10099ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
101 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)))
10264, 93, 43, 101, 66ofrfval2 6957 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
103100, 102mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹)
104 itg2le 23551 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
10595, 56, 103, 104syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
106 itg2lecl 23550 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
10795, 53, 105, 106syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
108 0red 10079 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
109 elinel2 3833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
111 ifle 12066 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
11239, 108, 41, 110, 111syl31anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
113112ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
11464, 50, 93, 65, 101ofrfval2 6957 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)))
115113, 114mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)))
116 itg2le 23551 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))))
11751, 95, 115, 116syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))))
11866fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2𝐹) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥))))
119 cmmbl 23348 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol → (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
12015, 119syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
121 disjdif 4073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ∅
122121fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . 14 (vol*‘((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = (vol*‘∅)
123122, 26eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . 13 (vol*‘((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0)
125 undif2 4077 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ ℝ)
126 mblss 23345 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol → (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ⊆ ℝ)
12715, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ⊆ ℝ)
128 ssequn1 3816 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ⊆ ℝ ↔ ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ ℝ) = ℝ)
129127, 128sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ ℝ) = ℝ)
130125, 129syl5req 2698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ℝ = ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))))
131 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))
132 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ ℝ, (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
133132mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ ℝ, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥))
134133eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ ℝ, (𝐹𝑥), 0))
135 ifcl 4163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
13643, 48, 135sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
137136, 131fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
138 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
139 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
140138, 139ifboth 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
14157, 41, 140syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
142141ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
143 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))
14464, 136, 43, 143, 66ofrfval2 6957 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
145142, 144mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹)
146 itg2le 23551 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
147137, 56, 145, 146syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
148 itg2lecl 23550 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
149137, 53, 147, 148syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
15015, 120, 124, 130, 43, 94, 131, 134, 107, 149itg2split 23561 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))))
151118, 150eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2𝐹) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))))
152 itg2cn.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
153152adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
154 eldif 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
155154baib 964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
156155adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
1579ffnd 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
158157ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn ℝ)
159 elpreima 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
160158, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
16139biantrurd 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝐹𝑥))))
1623nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
163162ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
164163rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ*)
165 elioopnf 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝐹𝑥))))
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝐹𝑥))))
167 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
168167biantrurd 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
169161, 166, 1683bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝐹𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
170163, 39ltnled 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝐹𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀))
171160, 169, 1703bitr2rd 297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
172171con1bid 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀))
173156, 172bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀))
174173ifbid 4141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) = if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))
175174mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0)))
176175fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))))
177176breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
178153, 177mtbird 314 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
17953, 91resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
180179, 149ltnled 10222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ↔ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
181178, 180mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))))
18253, 91, 149ltsubadd2d 10663 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ↔ (∫2𝐹) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))))))
183181, 182mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2𝐹) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))))
184151, 183eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))))
185107, 91, 149ltadd1d 10658 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) < (𝐶 / 2) ↔ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))))))
186184, 185mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) < (𝐶 / 2))
18772, 107, 91, 117, 186lelttrd 10233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) < (𝐶 / 2))
188162adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
189 mblvol 23344 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ dom vol → (vol‘𝑢) = (vol*‘𝑢))
1906, 189syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol‘𝑢) = (vol*‘𝑢))
1915rpred 11910 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ)
192191adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ)
193 simprr 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))
194190, 193eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))
195 ovolcl 23292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ*)
19633, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ*)
197192rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ*)
198 xrltle 12020 . . . . . . . . . . . . 13 (((vol*‘𝑢) ∈ ℝ* ∧ ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (vol*‘𝑢) ≤ ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
199196, 197, 198syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((vol*‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (vol*‘𝑢) ≤ ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
200194, 199mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) ≤ ((𝐶 / 2) / 𝑀))
201 ovollecl 23297 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝑢) ≤ ((𝐶 / 2) / 𝑀)) → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ)
20233, 192, 200, 201syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ)
203190, 202eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol‘𝑢) ∈ ℝ)
204188, 203remulcld 10108 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑀 · (vol‘𝑢)) ∈ ℝ)
205188rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ*)
2063adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
207206nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
208207nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 0 ≤ 𝑀)
209 elxrge0 12319 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀))
210205, 208, 209sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ (0[,]+∞))
211 ifcl 4163 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) ∈ (0[,]+∞))
212210, 48, 211sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) ∈ (0[,]+∞))
213212adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) ∈ (0[,]+∞))
214 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
215213, 214fmptd 6425 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
216 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))
217216adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))
218 difssd 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
219218sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → 𝑥𝑢)
22034, 171syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥𝑢) → (¬ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
221219, 220syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → (¬ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
222221con1bid 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀))
223217, 222mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)
224 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
225224adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
226219iftrued 4127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) = 𝑀)
227223, 225, 2263brtr4d 4717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
228 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) = 0)
229228adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) = 0)
230 0le0 11148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 0
231 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)))
232 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 = if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)))
233231, 232ifboth 4157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ≤ 𝑀 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
234208, 230, 233sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 0 ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
235234adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → 0 ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
236229, 235eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
237227, 236pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
238237ralrimivw 2996 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
239 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)))
24064, 74, 213, 81, 239ofrfval2 6957 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)))
241238, 240mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)))
242 itg2le 23551 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))))
24375, 215, 241, 242syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))))
244 elrege0 12316 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀))
245188, 208, 244sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ (0[,)+∞))
246 itg2const 23552 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))) = (𝑀 · (vol‘𝑢)))
2476, 203, 245, 246syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))) = (𝑀 · (vol‘𝑢)))
248243, 247breqtrd 4711 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (𝑀 · (vol‘𝑢)))
249206nngt0d 11102 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 0 < 𝑀)
250 ltmuldiv2 10935 . . . . . . . . . 10 (((vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝑀 · (vol‘𝑢)) < (𝐶 / 2) ↔ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
251203, 91, 188, 249, 250syl112anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑀 · (vol‘𝑢)) < (𝐶 / 2) ↔ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
252193, 251mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑀 · (vol‘𝑢)) < (𝐶 / 2))
25387, 204, 91, 248, 252lelttrd 10233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) < (𝐶 / 2))
25472, 87, 91, 91, 187, 253lt2addd 10688 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)))
25588, 254eqbrtrd 4707 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)))
25689rpcnd 11912 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐶 ∈ ℂ)
2572562halvesd 11316 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
258255, 257breqtrd 4711 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶)
259258expr 642 . . 3 ((𝜑𝑢 ∈ dom vol) → ((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
260259ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
261 breq2 4689 . . . . 5 (𝑑 = ((𝐶 / 2) / 𝑀) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 ↔ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
262261imbi1d 330 . . . 4 (𝑑 = ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶)))
263262ralbidv 3015 . . 3 (𝑑 = ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶)))
264263rspcev 3340 . 2 ((((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
2655, 260, 264syl2anc 694 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ifcif 4119   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ◡ccnv 5142  dom cdm 5143   “ cima 5146   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑟 cofr 6938  ℝcr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  vol*covol 23277  volcvol 23278  MblFncmbf 23428  ∫2citg2 23430 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-0p 23482 This theorem is referenced by:  itg2cn  23575
 Copyright terms: Public domain W3C validator