Theorem itg20 23549

Description: The integral of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg20	⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0

Proof of Theorem itg20

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1f0 23499	. . 3 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
2		reex 10065	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ V)
4		i1ff 23488	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
7		leid 10171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ 𝑥)
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ 𝑥)
9	3, 6, 8	caofref 6965	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}) ∘𝑟 ≤ (ℝ × {0}))
10		ax-resscn 10031	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
12		ffn 6083	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
13	6, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
14	11, 13	0pledm 23485	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (ℝ × {0}) ↔ (ℝ × {0}) ∘𝑟 ≤ (ℝ × {0})))
15	9, 14	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (ℝ × {0}))
16	15	trud 1533	. . 3 ⊢ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (ℝ × {0})
17		itg2itg1 23548	. . 3 ⊢ (((ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (ℝ × {0})) → (∫2‘(ℝ × {0})) = (∫1‘(ℝ × {0})))
18	1, 16, 17	mp2an 708	. 2 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = (∫1‘(ℝ × {0}))
19		itg10 23500	. 2 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
20	18, 19	eqtri 2673	1 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0

Syntax hints:   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685   × cxp 5141  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926   ∘_𝑟 cofr 6938  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974   ≤ cle 10113  ∫₁citg1 23429  ∫₂citg2 23430  0_𝑝c0p 23481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-0p 23482

This theorem is referenced by:  itg2mulc  23559  itg0  23591  itgz  23592  itgvallem3  23597  iblposlem  23603  bddmulibl  23650  iblempty  40499