Theorem itg1val 23641

Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1val	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem itg1val

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneq 5498	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ran 𝑓 = ran 𝐹)
2	1	difeq1d 3862	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (ran 𝑓 ∖ {0}) = (ran 𝐹 ∖ {0}))
3		cnveq 5443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
4	3	imaeq1d 5615	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 “ {𝑥}) = (◡𝐹 “ {𝑥}))
5	4	fveq2d 6348	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥})) = (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
6	5	oveq2d 6821	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) = (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
7	6	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) = (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
8	2, 7	sumeq12dv 14628	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
9		df-itg1 23580	. . 3 ⊢ ∫1 = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)} ↦ Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))))
10		sumex 14609	. . 3 ⊢ Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ V
11	8, 9, 10	fvmpt 6436	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)} → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
12		sumex 14609	. . 3 ⊢ Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝑓 “ {𝑥}))) ∈ V
13	12, 9	dmmpti 6176	. 2 ⊢ dom ∫1 = {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)}
14	11, 13	eleq2s 2849	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  {crab 3046   ∖ cdif 3704  {csn 4313  ^◡ccnv 5257  dom cdm 5258  ran crn 5259   “ cima 5261  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  Fincfn 8113  ℝcr 10119  0cc0 10120   · cmul 10125  Σcsu 14607  volcvol 23424  MblFncmbf 23574  ∫₁citg1 23575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-seq 12988  df-sum 14608  df-itg1 23580

This theorem is referenced by:  itg1val2  23642  itg1cl  23643  itg1ge0  23644  itg10  23646  itg11  23649  itg1addlem5  23658  itg1mulc  23662  itg10a  23668  itg1ge0a  23669  itg1climres  23672