MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1le 23525
Description: If one simple function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1le ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹𝑟𝐺) → (∫1𝐹) ≤ (∫1𝐺))

Proof of Theorem itg1le
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹𝑟𝐺) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 0ss 4005 . . 3 ∅ ⊆ ℝ
32a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹𝑟𝐺) → ∅ ⊆ ℝ)
4 ovol0 23307 . . 3 (vol*‘∅) = 0
54a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹𝑟𝐺) → (vol*‘∅) = 0)
6 simp2 1082 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹𝑟𝐺) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
7 eldifi 3765 . . 3 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ ∅) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
9 i1ff 23488 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
10 ffn 6083 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
118, 9, 103syl 18 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 Fn ℝ)
12 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
13 i1ff 23488 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ)
14 ffn 6083 . . . . . . . 8 (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℝ)
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 Fn ℝ)
16 reex 10065 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
18 inidm 3855 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
19 eqidd 2652 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
20 eqidd 2652 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
2111, 15, 17, 17, 18, 19, 20ofrval 6949 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝐹𝑟𝐺𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
22213exp 1283 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹𝑟𝐺 → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))))
23223impia 1280 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹𝑟𝐺) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥)))
2423imp 444 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹𝑟𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
257, 24sylan2 490 . 2 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹𝑟𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ ∅)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
261, 3, 5, 6, 25itg1lea 23524 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1𝐹𝑟𝐺) → (∫1𝐹) ≤ (∫1𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  𝑟 cofr 6938  cr 9973  0cc0 9974  cle 10113  vol*covol 23277  1citg1 23429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434
This theorem is referenced by:  itg2itg1  23548  itg2i1fseq2  23568  itg2addnclem  33591  ftc1anclem5  33619
  Copyright terms: Public domain W3C validator