MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1ge0a 23677
Description: The integral of an almost positive simple function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg1ge0a.4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg1ge0a (𝜑 → 0 ≤ (∫1𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg1ge0a
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10a.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
2 i1frn 23643 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
4 difss 3880 . . . 4 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
5 ssfi 8345 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
63, 4, 5sylancl 697 . . 3 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
7 i1ff 23642 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
81, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
9 frn 6214 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
1110ssdifssd 3891 . . . . 5 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
1211sselda 3744 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
13 i1fima2sn 23646 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
141, 13sylan 489 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
1512, 14remulcld 10262 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℝ)
16 0le0 11302 . . . . 5 0 ≤ 0
17 i1fima 23644 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
181, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
19 mblvol 23498 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
2120ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
22 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
238, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
24 fniniseg 6501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
2625ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
27 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
28 eldif 3725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴))
29 itg1ge0a.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
3029ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹𝑥)))
3130ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹𝑥)))
32 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝐹𝑥) = 𝑘)
3332breq2d 4816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 0 ≤ 𝑘))
34 0red 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 0 ∈ ℝ)
3512adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3634, 35lenltd 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (0 ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 0))
3733, 36bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ¬ 𝑘 < 0))
3831, 37sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 < 0))
3928, 38syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑘 < 0))
4027, 39mpand 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (¬ 𝑥𝐴 → ¬ 𝑘 < 0))
4140con4d 114 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝑘 < 0 → 𝑥𝐴))
4241impancom 455 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘) → 𝑥𝐴))
4326, 42sylbid 230 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) → 𝑥𝐴))
4443ssrdv 3750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴)
45 itg10a.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4645ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → 𝐴 ⊆ ℝ)
47 itg10a.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
4847ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol*‘𝐴) = 0)
49 ovolssnul 23455 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
5044, 46, 48, 49syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
5121, 50eqtrd 2794 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
5251oveq2d 6829 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = (𝑘 · 0))
5312recnd 10260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
5453adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
5554mul01d 10427 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑘 · 0) = 0)
5652, 55eqtrd 2794 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
5716, 56syl5breqr 4842 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → 0 ≤ (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
5812adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
5914adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
60 simpr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘)
6118ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
62 mblss 23499 . . . . . . . 8 ((𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
6361, 62syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
64 ovolge0 23449 . . . . . . 7 ((𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
6563, 64syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
6620ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
6765, 66breqtrrd 4832 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (vol‘(𝐹 “ {𝑘})))
6858, 59, 60, 67mulge0d 10796 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
69 0red 10233 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ∈ ℝ)
7057, 68, 12, 69ltlecasei 10337 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
716, 15, 70fsumge0 14726 . 2 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
72 itg1val 23649 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
731, 72syl 17 . 2 (𝜑 → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
7471, 73breqtrrd 4832 1 (𝜑 → 0 ≤ (∫1𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cdif 3712  wss 3715  {csn 4321   class class class wbr 4804  ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267  cima 5269   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  Σcsu 14615  vol*covol 23431  volcvol 23432  1citg1 23583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-xmet 19941  df-met 19942  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588
This theorem is referenced by:  itg1lea  23678
  Copyright terms: Public domain W3C validator