Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1ge0a 23677
 Description: The integral of an almost positive simple function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg1ge0a.4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg1ge0a (𝜑 → 0 ≤ (∫1𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg1ge0a
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10a.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
2 i1frn 23643 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
4 difss 3880 . . . 4 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
5 ssfi 8345 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
63, 4, 5sylancl 697 . . 3 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
7 i1ff 23642 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
81, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
9 frn 6214 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
1110ssdifssd 3891 . . . . 5 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
1211sselda 3744 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
13 i1fima2sn 23646 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
141, 13sylan 489 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
1512, 14remulcld 10262 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℝ)
16 0le0 11302 . . . . 5 0 ≤ 0
17 i1fima 23644 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
181, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
19 mblvol 23498 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
2120ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
22 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
238, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
24 fniniseg 6501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
2625ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
27 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
28 eldif 3725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴))
29 itg1ge0a.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
3029ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹𝑥)))
3130ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹𝑥)))
32 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝐹𝑥) = 𝑘)
3332breq2d 4816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 0 ≤ 𝑘))
34 0red 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 0 ∈ ℝ)
3512adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3634, 35lenltd 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (0 ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 0))
3733, 36bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ¬ 𝑘 < 0))
3831, 37sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 < 0))
3928, 38syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑘 < 0))
4027, 39mpand 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (¬ 𝑥𝐴 → ¬ 𝑘 < 0))
4140con4d 114 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝑘 < 0 → 𝑥𝐴))
4241impancom 455 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘) → 𝑥𝐴))
4326, 42sylbid 230 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) → 𝑥𝐴))
4443ssrdv 3750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴)
45 itg10a.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4645ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → 𝐴 ⊆ ℝ)
47 itg10a.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
4847ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol*‘𝐴) = 0)
49 ovolssnul 23455 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
5044, 46, 48, 49syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
5121, 50eqtrd 2794 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
5251oveq2d 6829 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = (𝑘 · 0))
5312recnd 10260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
5453adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
5554mul01d 10427 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑘 · 0) = 0)
5652, 55eqtrd 2794 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
5716, 56syl5breqr 4842 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 𝑘 < 0) → 0 ≤ (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
5812adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
5914adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
60 simpr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘)
6118ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
62 mblss 23499 . . . . . . . 8 ((𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
6361, 62syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
64 ovolge0 23449 . . . . . . 7 ((𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
6563, 64syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
6620ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
6765, 66breqtrrd 4832 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (vol‘(𝐹 “ {𝑘})))
6858, 59, 60, 67mulge0d 10796 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ 0 ≤ 𝑘) → 0 ≤ (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
69 0red 10233 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ∈ ℝ)
7057, 68, 12, 69ltlecasei 10337 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
716, 15, 70fsumge0 14726 . 2 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
72 itg1val 23649 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
731, 72syl 17 . 2 (𝜑 → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
7471, 73breqtrrd 4832 1 (𝜑 → 0 ≤ (∫1𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715  {csn 4321   class class class wbr 4804  ◡ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267   “ cima 5269   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128   · cmul 10133   < clt 10266   ≤ cle 10267  Σcsu 14615  vol*covol 23431  volcvol 23432  ∫1citg1 23583 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-xmet 19941  df-met 19942  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588 This theorem is referenced by:  itg1lea  23678
 Copyright terms: Public domain W3C validator