MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1ge0 23498
Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1ge0 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 0 ≤ (∫1𝐹))

Proof of Theorem itg1ge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1frn 23489 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
2 difss 3770 . . . . 5 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
3 ssfi 8221 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
41, 2, 3sylancl 695 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
54adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
6 i1ff 23488 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8 frn 6091 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
109ssdifssd 3781 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
1110sselda 3636 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
12 i1fima2sn 23492 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
1312adantlr 751 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
1411, 13remulcld 10108 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
15 eldifi 3765 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
16 0cn 10070 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
17 fnconstg 6131 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℂ × {0}) Fn ℂ
19 df-0p 23482 . . . . . . . . . . . 12 0𝑝 = (ℂ × {0})
2019fneq1i 6023 . . . . . . . . . . 11 (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
2118, 20mpbir 221 . . . . . . . . . 10 0𝑝 Fn ℂ
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
23 ffn 6083 . . . . . . . . . 10 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
246, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 Fn ℝ)
25 cnex 10055 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
27 reex 10065 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
29 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
30 sseqin2 3850 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
3129, 30mpbi 220 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
32 0pval 23483 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → (0𝑝𝑦) = 0)
3332adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑦 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑦) = 0)
34 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
3522, 24, 26, 28, 31, 33, 34ofrfval 6947 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝𝑟𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
3635biimpa 500 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦))
3724adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
38 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
3938ralrn 6402 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℝ → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
4037, 39syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
4136, 40mpbird 247 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥)
4241r19.21bi 2961 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹) → 0 ≤ 𝑥)
4315, 42sylan2 490 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ 𝑥)
44 i1fima 23490 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
4544ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
46 mblss 23345 . . . . . . 7 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ)
47 ovolge0 23295 . . . . . . 7 ((𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐹 “ {𝑥})))
4846, 47syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol*‘(𝐹 “ {𝑥})))
49 mblvol 23344 . . . . . 6 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ {𝑥})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑥})))
5048, 49breqtrrd 4713 . . . . 5 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(𝐹 “ {𝑥})))
5145, 50syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (vol‘(𝐹 “ {𝑥})))
5211, 13, 43, 51mulge0d 10642 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
535, 14, 52fsumge0 14571 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 0 ≤ Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
54 itg1val 23495 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
5554adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
5653, 55breqtrrd 4713 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 0 ≤ (∫1𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685   × cxp 5141  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑟 cofr 6938  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979  cle 10113  Σcsu 14460  vol*covol 23277  volcvol 23278  1citg1 23429  0𝑝c0p 23481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-0p 23482
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator