MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isxmetd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isxmetd 22353
Description: Properties that determine an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0 (𝜑𝑋 ∈ V)
isxmetd.1 (𝜑𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
isxmetd.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
isxmetd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
isxmetd (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isxmetd
StepHypRef Expression
1 isxmetd.1 . 2 (𝜑𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2 isxmetd.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
3 isxmetd.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
433exp2 1448 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋 → (𝑦𝑋 → (𝑧𝑋 → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
54imp32 448 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧𝑋 → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
65ralrimiv 3104 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
72, 6jca 555 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
87ralrimivva 3110 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
9 isxmetd.0 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
10 isxmet 22351 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
121, 8, 11mpbir2and 995 1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wral 3051  Vcvv 3341   class class class wbr 4805   × cxp 5265  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  0cc0 10149  *cxr 10286  cle 10288   +𝑒 cxad 12158  ∞Metcxmt 19954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-map 8028  df-xr 10291  df-xmet 19962
This theorem is referenced by:  isxmet2d  22354  xmetres2  22388  comet  22540
  Copyright terms: Public domain W3C validator