MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isuvtxaOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isuvtxaOLD 26498
Description: Obsolete version of uvtxel1 26499 as of 14-Feb-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 30-Oct-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
uvtxel.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isuvtxaOLD (𝐺𝑊 → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒})
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺,𝑘,𝑣   𝑒,𝑉,𝑘   𝑒,𝑊,𝑘,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣,𝑘)

Proof of Theorem isuvtxaOLD
StepHypRef Expression
1 uvtxel.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21uvtxavalOLD 26488 . 2 (𝐺𝑊 → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)})
3 isuvtx.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
41, 3nbgrel 26432 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
5 df-3an 1074 . . . . . 6 (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
6 prcom 4411 . . . . . . . . 9 {𝑘, 𝑣} = {𝑣, 𝑘}
76sseq1i 3770 . . . . . . . 8 ({𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)
87rexbii 3179 . . . . . . 7 (∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)
9 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑊𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
10 eldifi 3875 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑘𝑉)
119, 10anim12ci 592 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑘𝑉𝑣𝑉))
12 eldifsni 4466 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑘𝑣)
1312adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → 𝑘𝑣)
1411, 13jca 555 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣))
1514biantrurd 530 . . . . . . 7 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)))
168, 15syl5rbb 273 . . . . . 6 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
175, 16syl5bb 272 . . . . 5 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
184, 17syl5bb 272 . . . 4 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
1918ralbidva 3123 . . 3 ((𝐺𝑊𝑣𝑉) → (∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
2019rabbidva 3328 . 2 (𝐺𝑊 → {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒})
212, 20eqtrd 2794 1 (𝐺𝑊 → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  cdif 3712  wss 3715  {csn 4321  {cpr 4323  cfv 6049  (class class class)co 6813  Vtxcvtx 26073  Edgcedg 26138   NeighbVtx cnbgr 26423  UnivVtxcuvtx 26485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-nbgr 26424  df-uvtx 26486
This theorem is referenced by:  uvtxael1OLD  26501
  Copyright terms: Public domain W3C validator