MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isuvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isuvtx 26489
Description: The set of all universal vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 30-Oct-2020.) (Revised by AV, 14-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
uvtxel.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isuvtx (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒}
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺,𝑘,𝑣   𝑒,𝑉,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣,𝑘)

Proof of Theorem isuvtx
StepHypRef Expression
1 uvtxel.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21uvtxval 26479 . 2 (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)}
3 isuvtx.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
41, 3nbgrel 26424 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
5 df-3an 1074 . . . . . 6 (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
64, 5bitri 264 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
7 prcom 4403 . . . . . . . 8 {𝑘, 𝑣} = {𝑣, 𝑘}
87sseq1i 3762 . . . . . . 7 ({𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)
98rexbii 3171 . . . . . 6 (∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)
10 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑉𝑣𝑉)
11 eldifi 3867 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑘𝑉)
1210, 11anim12ci 592 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑘𝑉𝑣𝑉))
13 eldifsni 4458 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑘𝑣)
1413adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → 𝑘𝑣)
1512, 14jca 555 . . . . . . 7 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣))
1615biantrurd 530 . . . . . 6 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)))
179, 16syl5rbb 273 . . . . 5 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
186, 17syl5bb 272 . . . 4 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
1918ralbidva 3115 . . 3 (𝑣𝑉 → (∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
2019rabbiia 3316 . 2 {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒}
212, 20eqtri 2774 1 (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  wrex 3043  {crab 3046  cdif 3704  wss 3707  {csn 4313  {cpr 4315  cfv 6041  (class class class)co 6805  Vtxcvtx 26065  Edgcedg 26130   NeighbVtx cnbgr 26415  UnivVtxcuvtx 26477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-nbgr 26416  df-uvtx 26478
This theorem is referenced by:  uvtxel1  26491
  Copyright terms: Public domain W3C validator