MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumshft 14741
Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumshft.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumshft.2 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
isumshft.3 (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
isumshft.4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
isumshft.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumshft.6 ((𝜑𝑗𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
isumshft (𝜑 → Σ𝑗𝑊 𝐴 = Σ𝑘𝑍 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑗,𝑘,𝐾   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑊,𝑘   𝐵,𝑗   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem isumshft
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumshft.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 isumshft.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
31, 2zaddcld 11649 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
4 isumshft.2 . . . . . . . . . 10 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
54eleq2i 2819 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑊𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
62zcnd 11646 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
7 eluzelcn 11862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℂ)
87, 4eleq2s 2845 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝑊𝑚 ∈ ℂ)
9 isumshft.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤ𝑀)
10 fvex 6350 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) ∈ V
119, 10eqeltri 2823 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
1211mptex 6638 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍𝐵) ∈ V
1312shftval 13984 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)))
146, 8, 13syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑊) → (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)))
15 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
16 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑍𝐵) = (𝑘𝑍𝐵)
1716fvmpt2i 6440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ( I ‘𝐵))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ( I ‘𝐵))
19 eluzelcn 11862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
2019, 9eleq2s 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
21 addcom 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
226, 20, 21syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
23 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘𝑍𝑘𝑍)
2423, 9syl6eleq 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
25 eluzadd 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
2624, 2, 25syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
2722, 26eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
2827, 4syl6eleqr 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
29 isumshft.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝐾 + 𝑘) → 𝐴 = 𝐵)
30 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗𝑊𝐴) = (𝑗𝑊𝐴)
3129, 30fvmpti 6431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ( I ‘𝐵))
3228, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ( I ‘𝐵))
3318, 32eqtr4d 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
3433ralrimiva 3092 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)))
35 nffvmpt1 6348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛)
3635nfeq1 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))
37 fveq2 6340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛))
38 oveq2 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → (𝐾 + 𝑘) = (𝐾 + 𝑛))
3938fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
4037, 39eqeq12d 2763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) ↔ ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
4136, 40rspc 3431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍 → (∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑘)) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛))))
4234, 41mpan9 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
4342ralrimiva 3092 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
4443adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑊) → ∀𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)))
451adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
462adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
47 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝑚𝑊)
4847, 4syl6eleq 2837 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑊) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
49 eluzsub 11880 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
5045, 46, 48, 49syl3anc 1463 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝑚𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
5150, 9syl6eleqr 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝑚𝐾) ∈ 𝑍)
52 fveq2 6340 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚𝐾) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)))
53 oveq2 6809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚𝐾) → (𝐾 + 𝑛) = (𝐾 + (𝑚𝐾)))
5453fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚𝐾) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))))
5552, 54eqeq12d 2763 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚𝐾) → (((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ↔ ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾)))))
5655rspccva 3436 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∧ (𝑚𝐾) ∈ 𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))))
5744, 51, 56syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑘𝑍𝐵)‘(𝑚𝐾)) = ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))))
58 pncan3 10452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝐾 + (𝑚𝐾)) = 𝑚)
596, 8, 58syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐾 + (𝑚𝐾)) = 𝑚)
6059fveq2d 6344 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + (𝑚𝐾))) = ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚))
6114, 57, 603eqtrrd 2787 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
625, 61sylan2br 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = (((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)‘𝑚))
633, 62seqfeq 12991 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) = seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)))
6463breq1d 4802 . . . . . 6 (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
6512isershft 14564 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
661, 2, 65syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥 ↔ seq(𝑀 + 𝐾)( + , ((𝑘𝑍𝐵) shift 𝐾)) ⇝ 𝑥))
6764, 66bitr4d 271 . . . . 5 (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥))
6867iotabidv 6021 . . . 4 (𝜑 → (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥))
69 df-fv 6045 . . . 4 ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴))) = (℩𝑥seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴)) ⇝ 𝑥)
70 df-fv 6045 . . . 4 ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵))) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵)) ⇝ 𝑥)
7168, 69, 703eqtr4g 2807 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴))) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵))))
72 eqidd 2749 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚))
73 isumshft.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑊) → 𝐴 ∈ ℂ)
7473, 30fmptd 6536 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗𝑊𝐴):𝑊⟶ℂ)
75 ffvelrn 6508 . . . . 5 (((𝑗𝑊𝐴):𝑊⟶ℂ ∧ 𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
7674, 75sylan 489 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
774, 3, 72, 76isum 14620 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚𝑊 ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq(𝑀 + 𝐾)( + , (𝑗𝑊𝐴))))
78 eqidd 2749 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛))
7974adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑗𝑊𝐴):𝑊⟶ℂ)
8028ralrimiva 3092 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊)
8138eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊 ↔ (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊))
8281rspccva 3436 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝑍 (𝐾 + 𝑘) ∈ 𝑊𝑛𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
8380, 82sylan 489 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊)
84 ffvelrn 6508 . . . . . 6 (((𝑗𝑊𝐴):𝑊⟶ℂ ∧ (𝐾 + 𝑛) ∈ 𝑊) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∈ ℂ)
8579, 83, 84syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑗𝑊𝐴)‘(𝐾 + 𝑛)) ∈ ℂ)
8642, 85eqeltrd 2827 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) ∈ ℂ)
879, 1, 78, 86isum 14620 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐵))))
8871, 77, 873eqtr4d 2792 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝑊 ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = Σ𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛))
89 sumfc 14610 . 2 Σ𝑚𝑊 ((𝑗𝑊𝐴)‘𝑚) = Σ𝑗𝑊 𝐴
90 sumfc 14610 . 2 Σ𝑛𝑍 ((𝑘𝑍𝐵)‘𝑛) = Σ𝑘𝑍 𝐵
9188, 89, 903eqtr3g 2805 1 (𝜑 → Σ𝑗𝑊 𝐴 = Σ𝑘𝑍 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  Vcvv 3328   class class class wbr 4792  cmpt 4869   I cid 5161  cio 5998  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097   + caddc 10102  cmin 10429  cz 11540  cuz 11850  seqcseq 12966   shift cshi 13976  cli 14385  Σcsu 14586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-shft 13977  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-sum 14587
This theorem is referenced by:  eftlub  15009  pserdv2  24354  logtayl  24576  binomcxplemnotnn0  39026
  Copyright terms: Public domain W3C validator