Theorem isummulc2 14684

Description: An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumcl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumcl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumcl.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
isummulc2	⊢ (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐵 · 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isummulc2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumfc 14631	. 2 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐵 · 𝐴)
2		isumcl.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		isumcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eqidd 2753	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
5		summulc.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		isumcl.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcld 10244	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
9		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))
10	8, 9	fmptd 6540	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)):𝑍⟶ℂ)
11	10	ffvelrnda 6514	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) ∈ ℂ)
12		isumcl.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
13		isumcl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
14	2, 3, 12, 7, 13	isumclim2 14680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
15	12, 7	eqeltrd 2831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	15	ralrimiva 3096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17		fveq2 6344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
18	17	eleq1d 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ))
19	18	rspccva 3440	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
20	16, 19	sylan 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
21		simpr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
22		ovex 6833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 · 𝐴) ∈ V
23	9	fvmpt2 6445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐵 · 𝐴) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
24	21, 22, 23	sylancl 697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
25	12	oveq2d 6821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐵 · (𝐹‘𝑘)) = (𝐵 · 𝐴))
26	24, 25	eqtr4d 2789	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹‘𝑘)))
27	26	ralrimiva 3096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹‘𝑘)))
28		nffvmpt1 6352	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚)
29	28	nfeq1 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹‘𝑚))
30		fveq2 6344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
31	17	oveq2d 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 · (𝐹‘𝑘)) = (𝐵 · (𝐹‘𝑚)))
32	30, 31	eqeq12d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹‘𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹‘𝑚))))
33	29, 32	rspc 3435	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹‘𝑘)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹‘𝑚))))
34	27, 33	mpan9 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹‘𝑚)))
35	2, 3, 5, 14, 20, 34	isermulc2 14579	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))) ⇝ (𝐵 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴))
36	2, 3, 4, 11, 35	isumclim 14679	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴))
37	1, 36	syl5reqr 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  Vcvv 3332   ↦ cmpt 4873  dom cdm 5258  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ℂcc 10118   + caddc 10123   · cmul 10125  ℤcz 11561  ℤ_≥cuz 11871  seqcseq 12987   ⇝ cli 14406  Σcsu 14607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608

This theorem is referenced by:  isummulc1  14685  trirecip  14786  geoisum1c  14802  binomcxplemnotnn0  39049  isumneg  40329