MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumltss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumltss 14624
Description: A partial sum of a series with positive terms is less than the infinite sum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isumltss.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumltss.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumltss.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
isumltss.4 (𝜑𝐴𝑍)
isumltss.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
isumltss.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
isumltss.7 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumltss (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝑍 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumltss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumltss.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 isumltss.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uzinf 12804 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
5 ssdif0 3975 . . . . 5 (𝑍𝐴 ↔ (𝑍𝐴) = ∅)
6 isumltss.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑍)
7 eqss 3651 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝑍 ↔ (𝐴𝑍𝑍𝐴))
8 isumltss.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝑍 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑍 ∈ Fin))
108, 9syl5ibcom 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 = 𝑍𝑍 ∈ Fin))
117, 10syl5bir 233 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝑍𝑍𝐴) → 𝑍 ∈ Fin))
126, 11mpand 711 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍𝐴𝑍 ∈ Fin))
135, 12syl5bir 233 . . . 4 (𝜑 → ((𝑍𝐴) = ∅ → 𝑍 ∈ Fin))
144, 13mtod 189 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑍𝐴) = ∅)
15 neq0 3963 . . 3 (¬ (𝑍𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍𝐴))
1614, 15sylib 208 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍𝐴))
178adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
186adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → 𝐴𝑍)
1918sselda 3636 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝑍)
20 isumltss.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2120adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2221rpred 11910 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2319, 22syldan 486 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2417, 23fsumrecl 14509 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
25 snfi 8079 . . . . 5 {𝑥} ∈ Fin
26 unfi 8268 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
2717, 25, 26sylancl 695 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
28 eldifi 3765 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → 𝑥𝑍)
2928snssd 4372 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
306, 29anim12i 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍))
31 unss 3820 . . . . . . 7 ((𝐴𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍) ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
3230, 31sylib 208 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
3332sselda 3636 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝑘𝑍)
3433, 22syldan 486 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℝ)
3527, 34fsumrecl 14509 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ∈ ℝ)
361adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → 𝑀 ∈ ℤ)
37 isumltss.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
3837adantlr 751 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
39 isumltss.7 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4039adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
412, 36, 38, 22, 40isumrecl 14540 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
4225a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → {𝑥} ∈ Fin)
43 vex 3234 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
4443snnz 4340 . . . . . . 7 {𝑥} ≠ ∅
4544a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → {𝑥} ≠ ∅)
4629adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
4746sselda 3636 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝑘𝑍)
4847, 21syldan 486 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4942, 45, 48fsumrpcl 14512 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵 ∈ ℝ+)
5024, 49ltaddrpd 11943 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 < (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
51 eldifn 3766 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
5251adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
53 disjsn 4278 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥𝐴)
5452, 53sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅)
55 eqidd 2652 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥}))
5621rpcnd 11912 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
5733, 56syldan 486 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℂ)
5854, 55, 27, 57fsumsplit 14515 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
5950, 58breqtrrd 4713 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵)
6021rpge0d 11914 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
612, 36, 27, 32, 38, 22, 60, 40isumless 14621 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
6224, 35, 41, 59, 61ltletrd 10235 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝑍 𝐵)
6316, 62exlimddv 1903 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝑍 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973   + caddc 9977   < clt 10112  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  seqcseq 12841  cli 14259  Σcsu 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator