MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumless Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumless 14747
Description: A finite sum of nonnegative numbers is less or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumless.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumless.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumless.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
isumless.4 (𝜑𝐴𝑍)
isumless.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
isumless.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
isumless.7 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
isumless.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumless (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumless
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumless.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑍)
21sselda 3732 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑍)
3 isumless.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43recnd 10231 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
52, 4syldan 488 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65ralrimiva 3092 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
7 isumless.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
87eqimssi 3788 . . . . 5 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀)
98orci 404 . . . 4 (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin))
11 sumss2 14627 . . 3 (((𝐴𝑍 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
121, 6, 10, 11syl21anc 1462 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
13 isumless.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 eleq1 2815 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
15 fveq2 6340 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑘))
1614, 15ifbieq1d 4241 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0) = if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0))
17 eqid 2748 . . . . . 6 (𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0)) = (𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))
18 fvex 6350 . . . . . . 7 (𝐹𝑘) ∈ V
19 c0ex 10197 . . . . . . 7 0 ∈ V
2018, 19ifex 4288 . . . . . 6 if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0) ∈ V
2116, 17, 20fvmpt 6432 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0))
2221adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0))
23 isumless.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
2423ifeq1d 4236 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2522, 24eqtrd 2782 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
26 0re 10203 . . . 4 0 ∈ ℝ
27 ifcl 4262 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
283, 26, 27sylancl 697 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
29 isumless.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
30 leid 10296 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵𝐵)
31 breq1 4795 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) → (𝐵𝐵 ↔ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵))
32 breq1 4795 . . . . . 6 (0 = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵))
3331, 32ifboth 4256 . . . . 5 ((𝐵𝐵 ∧ 0 ≤ 𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵)
3430, 33sylan 489 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵)
353, 29, 34syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵)
36 isumless.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
377, 13, 36, 1, 25, 5fsumcvg3 14630 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))) ∈ dom ⇝ )
38 isumless.8 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
397, 13, 25, 28, 23, 3, 35, 37, 38isumle 14746 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
4012, 39eqbrtrd 4814 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  wss 3703  ifcif 4218   class class class wbr 4792  cmpt 4869  dom cdm 5254  cfv 6037  Fincfn 8109  cc 10097  cr 10098  0cc0 10099   + caddc 10102  cle 10238  cz 11540  cuz 11850  seqcseq 12966  cli 14385  Σcsu 14586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587
This theorem is referenced by:  isumltss  14750  climcnds  14753  harmonic  14761  mertenslem1  14786  prmreclem5  15797  ovoliunlem1  23441  ovoliun2  23445  esumpcvgval  30420  eulerpartlems  30702  geomcau  33837
  Copyright terms: Public domain W3C validator