Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumge0 14667
 Description: An infinite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumrecl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumrecl.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumrecl.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumrecl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumrecl.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumge0.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
isumge0 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumge0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumrecl.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumrecl.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isumrecl.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumrecl.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 10231 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 isumrecl.5 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
71, 2, 3, 5, 6isumclim2 14659 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
8 fveq2 6340 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑘))
98cbvsumv 14596 . . . . 5 Σ𝑗𝑍 (𝐹𝑗) = Σ𝑘𝑍 (𝐹𝑘)
103sumeq2dv 14603 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
119, 10syl5eq 2794 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗𝑍 (𝐹𝑗) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
127, 11breqtrrd 4820 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑗𝑍 (𝐹𝑗))
133, 4eqeltrd 2827 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
14 isumge0.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
1514, 3breqtrrd 4820 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
161, 2, 12, 13, 15iserge0 14561 . 2 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗𝑍 (𝐹𝑗))
1716, 11breqtrd 4818 1 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   class class class wbr 4792  dom cdm 5254  ‘cfv 6037  ℝcr 10098  0cc0 10099   + caddc 10102   ≤ cle 10238  ℤcz 11540  ℤ≥cuz 11850  seqcseq 12966   ⇝ cli 14385  Σcsu 14586 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587 This theorem is referenced by:  mertenslem1  14786  mertenslem2  14787  rpnnen2lem12  15124  log2tlbnd  24842  esumcvg  30428  stirlinglem12  40774
 Copyright terms: Public domain W3C validator