MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumclim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumclim3 14437
Description: The sequence of partial finite sums of a converging infinite series converge to the infinite sum of the series. Note that 𝑗 must not occur in 𝐴. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumclim3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumclim3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumclim3.3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
isumclim3.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumclim3.5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
Assertion
Ref Expression
isumclim3 (𝜑𝐹 ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝑘,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem isumclim3
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumclim3.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 climdm 14235 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
31, 2sylib 208 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
4 sumfc 14389 . . . 4 Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘𝑍 𝐴
5 isumclim3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 isumclim3.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 eqidd 2622 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
8 isumclim3.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
108, 9fmptd 6351 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴):𝑍⟶ℂ)
1110ffvelrnda 6325 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
125, 6, 7, 11isum 14399 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))))
134, 12syl5eqr 2669 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))))
14 seqex 12759 . . . . . . 7 seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V
1514a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V)
16 isumclim3.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
17 fzssuz 12340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑗) ⊆ (ℤ𝑀)
1817, 5sseqtr4i 3623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
19 resmpt 5418 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍 → ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)
2120fveq1i 6159 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
22 fvres 6174 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
2321, 22syl5reqr 2670 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚))
2423sumeq2i 14379 . . . . . . . . 9 Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
25 sumfc 14389 . . . . . . . . 9 Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
2624, 25eqtri 2643 . . . . . . . 8 Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
27 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
28 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
2928, 5syl6eleq 2708 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
30 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝜑)
31 elfzuz 12296 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
3231, 5syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚𝑍)
3330, 32, 11syl2an 494 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
3427, 29, 33fsumser 14410 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗))
3526, 34syl5eqr 2669 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗))
3616, 35eqtr2d 2656 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗) = (𝐹𝑗))
375, 15, 1, 6, 36climeq 14248 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥𝐹𝑥))
3837iotabidv 5841 . . . 4 (𝜑 → (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥𝐹𝑥))
39 df-fv 5865 . . . 4 ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥)
40 df-fv 5865 . . . 4 ( ⇝ ‘𝐹) = (℩𝑥𝐹𝑥)
4138, 39, 403eqtr4g 2680 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))) = ( ⇝ ‘𝐹))
4213, 41eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘𝐹))
433, 42breqtrrd 4651 1 (𝜑𝐹 ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3190  wss 3560   class class class wbr 4623  cmpt 4683  dom cdm 5084  cres 5086  cio 5818  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894   + caddc 9899  cz 11337  cuz 11647  ...cfz 12284  seqcseq 12757  cli 14165  Σcsu 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367
This theorem is referenced by:  esumcvg  29971
  Copyright terms: Public domain W3C validator