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Theorem istrkgcb 25575
Description: Property of being a Tarski geometry - congruence and betweenness part. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d = (dist‘𝐺)
istrkg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
istrkgcb (𝐺 ∈ TarskiGCB ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑐𝑃𝑣𝑃 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ∧ ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣)))) → (𝑧 𝑢) = (𝑐 𝑣)) ∧ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑧𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑎 𝑏)))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem istrkgcb
Dummy variables 𝑓 𝑑 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istrkg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 istrkg.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 istrkg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 simp1 1131 . . . . . 6 ((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) → 𝑝 = 𝑃)
54eqcomd 2766 . . . . 5 ((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) → 𝑃 = 𝑝)
65adantr 472 . . . . . 6 (((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
76adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
87adantr 472 . . . . . . . 8 (((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
98adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
109adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
115ad6antr 779 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
126ad6antr 779 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
13 simpll3 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) → 𝑖 = 𝐼)
1413ad6antr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → 𝑖 = 𝐼)
1514eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → 𝐼 = 𝑖)
1615oveqd 6831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑥𝑖𝑧))
1716eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)))
1815oveqd 6831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (𝑎𝐼𝑐) = (𝑎𝑖𝑐))
1918eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ↔ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐)))
2017, 193anbi23d 1551 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐))))
21 simpll2 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) → 𝑑 = )
2221ad6antr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → 𝑑 = )
2322eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → = 𝑑)
2423oveqd 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (𝑥 𝑦) = (𝑥𝑑𝑦))
2523oveqd 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (𝑎 𝑏) = (𝑎𝑑𝑏))
2624, 25eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → ((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ↔ (𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏)))
2723oveqd 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (𝑦 𝑧) = (𝑦𝑑𝑧))
2823oveqd 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (𝑏 𝑐) = (𝑏𝑑𝑐))
2927, 28eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → ((𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐) ↔ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐)))
3026, 29anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ↔ ((𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐))))
3123oveqd 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (𝑥 𝑢) = (𝑥𝑑𝑢))
3223oveqd 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (𝑎 𝑣) = (𝑎𝑑𝑣))
3331, 32eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ↔ (𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣)))
3423oveqd 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (𝑦 𝑢) = (𝑦𝑑𝑢))
3523oveqd 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (𝑏 𝑣) = (𝑏𝑑𝑣))
3634, 35eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → ((𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣) ↔ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣)))
3733, 36anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣)) ↔ ((𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣) ∧ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣))))
3830, 37anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → ((((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ∧ ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣))) ↔ (((𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐)) ∧ ((𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣) ∧ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣)))))
3920, 38anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ∧ ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣)))) ↔ ((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐)) ∧ ((𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣) ∧ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣))))))
4023oveqd 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (𝑧 𝑢) = (𝑧𝑑𝑢))
4123oveqd 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → (𝑐 𝑣) = (𝑐𝑑𝑣))
4240, 41eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → ((𝑧 𝑢) = (𝑐 𝑣) ↔ (𝑧𝑑𝑢) = (𝑐𝑑𝑣)))
4339, 42imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑣𝑃) → ((((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ∧ ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣)))) → (𝑧 𝑢) = (𝑐 𝑣)) ↔ (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐)) ∧ ((𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣) ∧ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣)))) → (𝑧𝑑𝑢) = (𝑐𝑑𝑣))))
4412, 43raleqbidva 3293 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) → (∀𝑣𝑃 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ∧ ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣)))) → (𝑧 𝑢) = (𝑐 𝑣)) ↔ ∀𝑣𝑝 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐)) ∧ ((𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣) ∧ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣)))) → (𝑧𝑑𝑢) = (𝑐𝑑𝑣))))
4511, 44raleqbidva 3293 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → (∀𝑐𝑃𝑣𝑃 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ∧ ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣)))) → (𝑧 𝑢) = (𝑐 𝑣)) ↔ ∀𝑐𝑝𝑣𝑝 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐)) ∧ ((𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣) ∧ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣)))) → (𝑧𝑑𝑢) = (𝑐𝑑𝑣))))
4610, 45raleqbidva 3293 . . . . . . . . 9 (((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) ∧ 𝑎𝑃) → (∀𝑏𝑃𝑐𝑃𝑣𝑃 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ∧ ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣)))) → (𝑧 𝑢) = (𝑐 𝑣)) ↔ ∀𝑏𝑝𝑐𝑝𝑣𝑝 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐)) ∧ ((𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣) ∧ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣)))) → (𝑧𝑑𝑢) = (𝑐𝑑𝑣))))
479, 46raleqbidva 3293 . . . . . . . 8 ((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) ∧ 𝑢𝑃) → (∀𝑎𝑃𝑏𝑃𝑐𝑃𝑣𝑃 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ∧ ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣)))) → (𝑧 𝑢) = (𝑐 𝑣)) ↔ ∀𝑎𝑝𝑏𝑝𝑐𝑝𝑣𝑝 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐)) ∧ ((𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣) ∧ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣)))) → (𝑧𝑑𝑢) = (𝑐𝑑𝑣))))
488, 47raleqbidva 3293 . . . . . . 7 (((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑧𝑃) → (∀𝑢𝑃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑐𝑃𝑣𝑃 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ∧ ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣)))) → (𝑧 𝑢) = (𝑐 𝑣)) ↔ ∀𝑢𝑝𝑎𝑝𝑏𝑝𝑐𝑝𝑣𝑝 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐)) ∧ ((𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣) ∧ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣)))) → (𝑧𝑑𝑢) = (𝑐𝑑𝑣))))
497, 48raleqbidva 3293 . . . . . 6 ((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) → (∀𝑧𝑃𝑢𝑃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑐𝑃𝑣𝑃 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ∧ ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣)))) → (𝑧 𝑢) = (𝑐 𝑣)) ↔ ∀𝑧𝑝𝑢𝑝𝑎𝑝𝑏𝑝𝑐𝑝𝑣𝑝 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐)) ∧ ((𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣) ∧ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣)))) → (𝑧𝑑𝑢) = (𝑐𝑑𝑣))))
506, 49raleqbidva 3293 . . . . 5 (((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) → (∀𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑐𝑃𝑣𝑃 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ∧ ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣)))) → (𝑧 𝑢) = (𝑐 𝑣)) ↔ ∀𝑦𝑝𝑧𝑝𝑢𝑝𝑎𝑝𝑏𝑝𝑐𝑝𝑣𝑝 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐)) ∧ ((𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣) ∧ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣)))) → (𝑧𝑑𝑢) = (𝑐𝑑𝑣))))
515, 50raleqbidva 3293 . . . 4 ((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) → (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑐𝑃𝑣𝑃 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ∧ ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣)))) → (𝑧 𝑢) = (𝑐 𝑣)) ↔ ∀𝑥𝑝𝑦𝑝𝑧𝑝𝑢𝑝𝑎𝑝𝑏𝑝𝑐𝑝𝑣𝑝 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐)) ∧ ((𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣) ∧ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣)))) → (𝑧𝑑𝑢) = (𝑐𝑑𝑣))))
527adantr 472 . . . . . . . 8 (((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
5352adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
5413ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑖 = 𝐼)
5554eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑧𝑃) → 𝐼 = 𝑖)
5655oveqd 6831 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑥𝑖𝑧))
5756eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)))
5821ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑑 = )
5958eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑧𝑃) → = 𝑑)
6059oveqd 6831 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑦 𝑧) = (𝑦𝑑𝑧))
6159oveqd 6831 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑎 𝑏) = (𝑎𝑑𝑏))
6260, 61eqeq12d 2775 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑦 𝑧) = (𝑎 𝑏) ↔ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑎𝑑𝑏)))
6357, 62anbi12d 749 . . . . . . . . 9 (((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑎 𝑏)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑎𝑑𝑏))))
6453, 63rexeqbidva 3294 . . . . . . . 8 ((((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → (∃𝑧𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑎 𝑏)) ↔ ∃𝑧𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑎𝑑𝑏))))
6552, 64raleqbidva 3293 . . . . . . 7 (((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑎𝑃) → (∀𝑏𝑃𝑧𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑎 𝑏)) ↔ ∀𝑏𝑝𝑧𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑎𝑑𝑏))))
667, 65raleqbidva 3293 . . . . . 6 ((((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) → (∀𝑎𝑃𝑏𝑃𝑧𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑎 𝑏)) ↔ ∀𝑎𝑝𝑏𝑝𝑧𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑎𝑑𝑏))))
676, 66raleqbidva 3293 . . . . 5 (((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑥𝑃) → (∀𝑦𝑃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑧𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑎 𝑏)) ↔ ∀𝑦𝑝𝑎𝑝𝑏𝑝𝑧𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑎𝑑𝑏))))
685, 67raleqbidva 3293 . . . 4 ((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) → (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑧𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑎 𝑏)) ↔ ∀𝑥𝑝𝑦𝑝𝑎𝑝𝑏𝑝𝑧𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑎𝑑𝑏))))
6951, 68anbi12d 749 . . 3 ((𝑝 = 𝑃𝑑 = 𝑖 = 𝐼) → ((∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑐𝑃𝑣𝑃 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ∧ ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣)))) → (𝑧 𝑢) = (𝑐 𝑣)) ∧ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑧𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑎 𝑏))) ↔ (∀𝑥𝑝𝑦𝑝𝑧𝑝𝑢𝑝𝑎𝑝𝑏𝑝𝑐𝑝𝑣𝑝 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐)) ∧ ((𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣) ∧ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣)))) → (𝑧𝑑𝑢) = (𝑐𝑑𝑣)) ∧ ∀𝑥𝑝𝑦𝑝𝑎𝑝𝑏𝑝𝑧𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑎𝑑𝑏)))))
701, 2, 3, 69sbcie3s 16139 . 2 (𝑓 = 𝐺 → ([(Base‘𝑓) / 𝑝][(dist‘𝑓) / 𝑑][(Itv‘𝑓) / 𝑖](∀𝑥𝑝𝑦𝑝𝑧𝑝𝑢𝑝𝑎𝑝𝑏𝑝𝑐𝑝𝑣𝑝 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐)) ∧ ((𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣) ∧ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣)))) → (𝑧𝑑𝑢) = (𝑐𝑑𝑣)) ∧ ∀𝑥𝑝𝑦𝑝𝑎𝑝𝑏𝑝𝑧𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑎𝑑𝑏))) ↔ (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑐𝑃𝑣𝑃 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ∧ ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣)))) → (𝑧 𝑢) = (𝑐 𝑣)) ∧ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑧𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑎 𝑏)))))
71 df-trkgcb 25569 . 2 TarskiGCB = {𝑓[(Base‘𝑓) / 𝑝][(dist‘𝑓) / 𝑑][(Itv‘𝑓) / 𝑖](∀𝑥𝑝𝑦𝑝𝑧𝑝𝑢𝑝𝑎𝑝𝑏𝑝𝑐𝑝𝑣𝑝 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) = (𝑎𝑑𝑏) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑏𝑑𝑐)) ∧ ((𝑥𝑑𝑢) = (𝑎𝑑𝑣) ∧ (𝑦𝑑𝑢) = (𝑏𝑑𝑣)))) → (𝑧𝑑𝑢) = (𝑐𝑑𝑣)) ∧ ∀𝑥𝑝𝑦𝑝𝑎𝑝𝑏𝑝𝑧𝑝 (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ∧ (𝑦𝑑𝑧) = (𝑎𝑑𝑏)))}
7270, 71elab4g 3495 1 (𝐺 ∈ TarskiGCB ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃𝑢𝑃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑐𝑃𝑣𝑃 (((𝑥𝑦𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 𝑦) = (𝑎 𝑏) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑏 𝑐)) ∧ ((𝑥 𝑢) = (𝑎 𝑣) ∧ (𝑦 𝑢) = (𝑏 𝑣)))) → (𝑧 𝑢) = (𝑐 𝑣)) ∧ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑧𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑎 𝑏)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  [wsbc 3576  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  distcds 16172  TarskiGCBcstrkgcb 25552  Itvcitv 25555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-nul 4941
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-iota 6012  df-fv 6057  df-ov 6817  df-trkgcb 25569
This theorem is referenced by:  axtgsegcon  25583  axtg5seg  25584  f1otrg  25971  eengtrkg  26085
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