Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  istendod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem istendod 36571
 Description: Deduce the predicate "is a trace-preserving endomorphism". (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l = (le‘𝐾)
tendoset.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoset.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoset.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
tendoset.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
istendod.1 (𝜑 → (𝐾𝑉𝑊𝐻))
istendod.2 (𝜑𝑆:𝑇𝑇)
istendod.3 ((𝜑𝑓𝑇𝑔𝑇) → (𝑆‘(𝑓𝑔)) = ((𝑆𝑓) ∘ (𝑆𝑔)))
istendod.4 ((𝜑𝑓𝑇) → (𝑅‘(𝑆𝑓)) (𝑅𝑓))
Assertion
Ref Expression
istendod (𝜑𝑆𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝐾   𝑇,𝑓,𝑔   𝑓,𝑊,𝑔   𝑆,𝑓,𝑔   ,𝑓   𝑅,𝑓   𝜑,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   (𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem istendod
StepHypRef Expression
1 istendod.2 . 2 (𝜑𝑆:𝑇𝑇)
2 istendod.3 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑇𝑔𝑇) → (𝑆‘(𝑓𝑔)) = ((𝑆𝑓) ∘ (𝑆𝑔)))
323expb 1113 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑇𝑔𝑇)) → (𝑆‘(𝑓𝑔)) = ((𝑆𝑓) ∘ (𝑆𝑔)))
43ralrimivva 3120 . 2 (𝜑 → ∀𝑓𝑇𝑔𝑇 (𝑆‘(𝑓𝑔)) = ((𝑆𝑓) ∘ (𝑆𝑔)))
5 istendod.4 . . 3 ((𝜑𝑓𝑇) → (𝑅‘(𝑆𝑓)) (𝑅𝑓))
65ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑓𝑇 (𝑅‘(𝑆𝑓)) (𝑅𝑓))
7 istendod.1 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑉𝑊𝐻))
8 tendoset.l . . . 4 = (le‘𝐾)
9 tendoset.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 tendoset.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 tendoset.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12 tendoset.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
138, 9, 10, 11, 12istendo 36569 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝑆𝐸 ↔ (𝑆:𝑇𝑇 ∧ ∀𝑓𝑇𝑔𝑇 (𝑆‘(𝑓𝑔)) = ((𝑆𝑓) ∘ (𝑆𝑔)) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑅‘(𝑆𝑓)) (𝑅𝑓))))
147, 13syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑆𝐸 ↔ (𝑆:𝑇𝑇 ∧ ∀𝑓𝑇𝑔𝑇 (𝑆‘(𝑓𝑔)) = ((𝑆𝑓) ∘ (𝑆𝑔)) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑅‘(𝑆𝑓)) (𝑅𝑓))))
151, 4, 6, 14mpbir3and 1427 1 (𝜑𝑆𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061   class class class wbr 4786   ∘ ccom 5253  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  lecple 16156  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  trLctrl 35967  TEndoctendo 36561 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-map 8011  df-tendo 36564 This theorem is referenced by:  tendoidcl  36578  tendococl  36581  tendoplcl  36590  tendo0cl  36599  tendoicl  36605  cdlemk56  36780
 Copyright terms: Public domain W3C validator