MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrngd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubrngd2 19391
Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubrngd.s (𝜑𝑆 = (𝐼s 𝐷))
issubrngd.z (𝜑0 = (0g𝐼))
issubrngd.p (𝜑+ = (+g𝐼))
issubrngd.ss (𝜑𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubrngd.zcl (𝜑0𝐷)
issubrngd.acl ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrngd.ncl ((𝜑𝑥𝐷) → ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubrngd.o (𝜑1 = (1r𝐼))
issubrngd.t (𝜑· = (.r𝐼))
issubrngd.ocl (𝜑1𝐷)
issubrngd.tcl ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrngd.g (𝜑𝐼 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
issubrngd2 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, · ,𝑦
Allowed substitution hints:   1 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubrngd2
StepHypRef Expression
1 issubrngd.s . . 3 (𝜑𝑆 = (𝐼s 𝐷))
2 issubrngd.z . . 3 (𝜑0 = (0g𝐼))
3 issubrngd.p . . 3 (𝜑+ = (+g𝐼))
4 issubrngd.ss . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
5 issubrngd.zcl . . 3 (𝜑0𝐷)
6 issubrngd.acl . . 3 ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
7 issubrngd.ncl . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
8 issubrngd.g . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ Ring)
9 ringgrp 18752 . . . 4 (𝐼 ∈ Ring → 𝐼 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Grp)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10issubgrpd2 17811 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))
12 issubrngd.o . . 3 (𝜑1 = (1r𝐼))
13 issubrngd.ocl . . 3 (𝜑1𝐷)
1412, 13eqeltrrd 2840 . 2 (𝜑 → (1r𝐼) ∈ 𝐷)
15 issubrngd.t . . . . 5 (𝜑· = (.r𝐼))
1615oveqdr 6837 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r𝐼)𝑦))
17 issubrngd.tcl . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
18173expb 1114 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
1916, 18eqeltrrd 2840 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
2019ralrimivva 3109 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
21 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
22 eqid 2760 . . . 4 (1r𝐼) = (1r𝐼)
23 eqid 2760 . . . 4 (.r𝐼) = (.r𝐼)
2421, 22, 23issubrg2 19002 . . 3 (𝐼 ∈ Ring → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
258, 24syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
2611, 14, 20, 25mpbir3and 1428 1 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wss 3715  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  s cress 16060  +gcplusg 16143  .rcmulr 16144  0gc0g 16302  Grpcgrp 17623  invgcminusg 17624  SubGrpcsubg 17789  1rcur 18701  Ringcrg 18747  SubRingcsubrg 18978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-subg 17792  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-subrg 18980
This theorem is referenced by:  rngunsnply  38245
  Copyright terms: Public domain W3C validator