Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubg4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubg4 17660
 Description: A subgroup is a nonempty subset of the group closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg4.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubg4.p = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
issubg4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem issubg4
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg4.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
21subgss 17642 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
3 eqid 2651 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
43subg0cl 17649 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
5 ne0i 3954 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝑆𝑆 ≠ ∅)
64, 5syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ≠ ∅)
7 issubg4.p . . . . . 6 = (-g𝐺)
87subgsubcl 17652 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
983expb 1285 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
109ralrimivva 3000 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
112, 6, 103jca 1261 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆))
12 simplrl 817 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆𝐵)
13 simplrr 818 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
14 simprr 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
15 r19.2z 4093 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
1614, 15sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
17 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 𝑦) = (𝑥 𝑥))
1817eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 𝑥) ∈ 𝑆))
1918rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑆 → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 𝑥) ∈ 𝑆))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 𝑥) ∈ 𝑆))
21 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆𝐵)
2221sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
231, 3, 7grpsubid 17546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 𝑥) = (0g𝐺))
2423adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 𝑥) = (0g𝐺))
2522, 24syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑥) = (0g𝐺))
2625eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (0g𝐺) ∈ 𝑆))
2720, 26sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
2827rexlimdva 3060 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → (∃𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
2928imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
3016, 29syldan 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
31 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
32 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑥 𝑦) = ((0g𝐺) 𝑦))
3332eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (0g𝐺) → ((𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆))
3433ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (0g𝐺) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑆 ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆))
3534rspcv 3336 . . . . . . . . . . 11 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑦𝑆 ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆))
3630, 31, 35sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦𝑆 ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆)
371, 3grpidcl 17497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
3837ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
3921sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
40 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g𝐺) = (+g𝐺)
41 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invg𝐺) = (invg𝐺)
421, 40, 41, 7grpsubval 17512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0g𝐺) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → ((0g𝐺) 𝑦) = ((0g𝐺)(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)))
4338, 39, 42syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → ((0g𝐺) 𝑦) = ((0g𝐺)(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)))
44 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
451, 41grpinvcl 17514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
4644, 39, 45syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
471, 40, 3grplid 17499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺)(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)) = ((invg𝐺)‘𝑦))
4844, 46, 47syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → ((0g𝐺)(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)) = ((invg𝐺)‘𝑦))
4943, 48eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → ((0g𝐺) 𝑦) = ((invg𝐺)‘𝑦))
5049eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
5150ralbidva 3014 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑦𝑆 ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
5251adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦𝑆 ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
5336, 52mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)
54 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑧 → ((invg𝐺)‘𝑦) = ((invg𝐺)‘𝑧))
5554eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑧 → (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆))
5655rspccva 3339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
5756ad2ant2l 797 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
58 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ((invg𝐺)‘𝑧) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)))
5958eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ((invg𝐺)‘𝑧) → ((𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
6059rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆 → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
6157, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
62 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝐺 ∈ Grp)
63 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆𝐵)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑆𝐵)
65 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑥𝑆)
6664, 65sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑥𝐵)
67 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧𝑆)
6864, 67sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧𝐵)
691, 40, 7, 41, 62, 66, 68grpsubinv 17535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)) = (𝑥(+g𝐺)𝑧))
7069eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7161, 70sylibd 229 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7271anassrs 681 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7372ralrimdva 2998 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7473ralimdva 2991 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥𝑆𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7574impancom 455 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥𝑆𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7653, 75mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥𝑆𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
77 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(+g𝐺)𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑧))
7877eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7978ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
8079cbvralv 3201 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑆𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
8176, 80sylib 208 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
82 r19.26 3093 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑦𝑆𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
8381, 53, 82sylanbrc 699 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
8412, 13, 833jca 1261 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)))
8584exp42 638 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆𝐵 → (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))))
86853impd 1303 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
871, 40, 41issubg2 17656 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
8886, 87sylibrd 249 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
8911, 88impbid2 216 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  -gcsg 17471  SubGrpcsubg 17635 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638 This theorem is referenced by:  dprdsubg  18469  dmatsgrp  20353  scmatsgrp  20373  scmatsgrp1  20376  clssubg  21959  tgpconncomp  21963
 Copyright terms: Public domain W3C validator